69. На стороне ВС прямоугольника ABCD, у которого AB=30 и AD=102, отмечена точка Е так, что ∠EAB=45°. Найдите ED.

Краткая запись:

• Прямоугольник ABCD
• AB = 30
• AD = 102
• Точка E на стороне BC
• ∠EAB = 45°
• Найти: ED — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определим длину стороны BC. В прямоугольнике противоположные стороны равны, значит, BC = AD = 102.
2. Шаг 2: Рассмотрим прямоугольный треугольник ABE. Угол ∠ABE = 90°. Из условия ∠EAB = 45°. Сумма углов в треугольнике 180°, следовательно, ∠AEB = 180° - 90° - 45° = 45°.
3. Шаг 3: Треугольник ABE является равнобедренным (углы при основании AB равны), поэтому BE = AB = 30.
4. Шаг 4: Найдем длину отрезка DE. DE = BC - BE = 102 - 30 = 72.
5. Шаг 5: Теперь у нас есть два катета прямоугольного треугольника ADE: AD = 102 и DE = 72. Найдем гипотенузу ED по теореме Пифагора: \( ED^2 = AD^2 + DE^2 \).
6. Шаг 6: Подставляем значения: \( ED^2 = 102^2 + 72^2 \)
7. Шаг 7: Вычисляем: \( ED^2 = 10404 + 5184 = 15588 \)
8. Шаг 8: Находим ED: \( ED = √{15588} \)

Ответ: √{15588}