684. Снаряд, летевший горизонтально со скоростью, модуль которой v₀ = 50 м/с, разорвался на два осколка массами m₁ = 8,0 кг и m₂ = 2,0 кг. Скорость большего осколка, модуль которой v₁ = 100 м/с, направлена под углом α = 60° к горизонту вниз и вперед. Найдите модуль скорости движения меньшего осколка.

Решение:

Дано:

• Начальная скорость снаряда \( v_0 = 50 \) м/с (горизонтально).
• Масса первого осколка \( m_1 = 8.0 \) кг.
• Масса второго осколка \( m_2 = 2.0 \) кг.
• Скорость первого осколка \( v_1 = 100 \) м/с.
• Угол \( \alpha = 60^{\circ} \) (направлен вниз и вперед).

Найти:

• Скорость второго осколка \( v_2 \).

Решение:

Закон сохранения импульса в векторной форме:

\[ \vec{p}_{снаряда} = \vec{p}_1 + \vec{p}_2 \]

В проекции на горизонтальную ось (ось X):

\[ m_{снаряда} v_0 = m_1 v_{1x} + m_2 v_{2x} \]

где \( m_{снаряда} = m_1 + m_2 = 8.0 + 2.0 = 10.0 \) кг.

Скорость первого осколка имеет горизонтальную и вертикальную составляющие. Так как угол \( \alpha = 60^{\circ} \) направлен вниз и вперед, то горизонтальная составляющая скорости \( v_{1x} \) направлена вперед (положительное направление оси X).

\[ v_{1x} = v_1 \cos(\alpha) = 100 \cos(60^{\circ}) = 100 0.5 = 50 \text{ м/с} \]

Подставляем в уравнение сохранения импульса по оси X:

\[ 10.0 50 = 8.0 50 + 2.0 v_{2x} \]

\( 500 = 400 + 2.0 v_{2x} \)

\[ 2.0 v_{2x} = 500 - 400 \]

\[ v_{2x} = \frac{100}{2.0} = 50 \text{ м/с} \]

В проекции на вертикальную ось (ось Y):

Так как снаряд летел горизонтально, начальная вертикальная скорость равна нулю.

\[ 0 = m_1 v_{1y} + m_2 v_{2y} \]

Вертикальная составляющая скорости первого осколка \( v_{1y} \) направлена вниз (отрицательное направление оси Y):

\[ v_{1y} = -v_1 \sin(\alpha) = -100 \sin(60^{\circ}) = -100 \frac{\sqrt{3}}{2} \approx -100 0.866 = -86.6 \text{ м/с} \]

Подставляем в уравнение сохранения импульса по оси Y:

\[ 0 = 8.0 (-86.6) + 2.0 v_{2y} \]

\[ 0 = -692.8 + 2.0 v_{2y} \]

\[ 2.0 v_{2y} = 692.8 \]

\[ v_{2y} = \frac{692.8}{2.0} = 346.4 \text{ м/с} \]

Теперь найдем модуль скорости второго осколка \( v_2 \) используя теорему Пифагора:

\[ v_2 = \sqrt{v_{2x}^2 + v_{2y}^2} \]

\[ v_2 = \sqrt{(50)^2 + (346.4)^2} \]

\[ v_2 = \sqrt{2500 + 119993} \]

\[ v_2 = \sqrt{122493} \approx 349.99 \text{ м/с} \]

Округлим до 350 м/с.

Ответ: Модуль скорости меньшего осколка примерно равен 350 м/с.