678. Биссектрисы AA₁ и BB₁ треугольника АВС пересекаются в точке М. Найдите углы АСМ и ВСМ, если: а) ∠AMB = 136°; б) ∠AMB = 111°.

Краткое пояснение:

Для решения задачи используем свойства биссектрис треугольника и сумму углов в треугольнике.

Пошаговое решение:

а) ∠AMB = 136°

• Шаг 1: AM и BM — биссектрисы углов A и B соответственно.
• Шаг 2: В треугольнике АМВ: ∠MAB + ∠MBA + ∠AMB = 180°.
• Шаг 3: ∠MAB + ∠MBA = 180° - ∠AMB = 180° - 136° = 44°.
• Шаг 4: Так как AM — биссектриса угла A, то ∠A = 2 * ∠MAB.
• Шаг 5: Так как BM — биссектриса угла B, то ∠B = 2 * ∠MBA.
• Шаг 6: Следовательно, ∠A + ∠B = 2 * ∠MAB + 2 * ∠MBA = 2 * (∠MAB + ∠MBA) = 2 * 44° = 88°.
• Шаг 7: В треугольнике АВС: ∠A + ∠B + ∠C = 180°.
• Шаг 8: ∠C = 180° - (∠A + ∠B) = 180° - 88° = 92°.
• Шаг 9: CM — биссектриса угла C (так как точка пересечения биссектрис называется центром вписанной окружности, и она лежит на всех биссектрисах).
• Шаг 10: Угол АСМ = Угол ВСМ = ∠C / 2 = 92° / 2 = 46°.

б) ∠AMB = 111°

• Шаг 1: Аналогично пункту а).
• Шаг 2: В треугольнике АМВ: ∠MAB + ∠MBA = 180° - ∠AMB = 180° - 111° = 69°.
• Шаг 3: ∠A + ∠B = 2 * (∠MAB + ∠MBA) = 2 * 69° = 138°.
• Шаг 4: В треугольнике АВС: ∠C = 180° - (∠A + ∠B) = 180° - 138° = 42°.
• Шаг 5: CM — биссектриса угла C.
• Шаг 6: Угол АСМ = Угол ВСМ = ∠C / 2 = 42° / 2 = 21°.

Ответ: а) 46°; б) 21°.