676 Стороны угла А касаются окружности с центром О радиуса r. Найдите: а) ОА, если r=5см, ∠A = 60°; б) г, если OA = 14 дм, ∠A = 90°.

Решение:

Задача №676

Дано: Окружность с центром О, радиус r. Угол А касается окружности.

Найти:

• а) OA, если r = 5 см, ∠A = 60°
• б) r, если OA = 14 дм, ∠A = 90°

Пошаговое решение:

а) Находим OA, если r = 5 см, ∠A = 60°

1. Шаг 1: Рассматриваем прямоугольный треугольник, образованный радиусом, проведенным к точке касания, и сторонами угла А. В этом треугольнике радиус r является катетом, противолежащим углу А.
2. Шаг 2: Используем тригонометрическое соотношение для синуса угла: \( ext{sin}(A) = rac{ ext{противолежащий катет}}{ ext{гипотенуза}} \). В нашем случае \( ext{sin}(60°) = rac{r}{OA} \).
3. Шаг 3: Выражаем OA: \( OA = rac{r}{ ext{sin}(60°)} \).
4. Шаг 4: Подставляем известные значения: \( OA = rac{5 ext{ см}}{rac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{5 imes 2}{\sqrt{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}} ext{ см} \).
5. Шаг 5: Рационализируем знаменатель (умножаем числитель и знаменатель на \( \sqrt{3} \)): \( OA = \frac{10\sqrt{3}}{3} ext{ см} \).

б) Находим r, если OA = 14 дм, ∠A = 90°

1. Шаг 1: В данном случае угол А равен 90°. Это означает, что касательная к окружности перпендикулярна к радиусу в точке касания.
2. Шаг 2: Если угол А равен 90°, то прямая, содержащая одну из сторон угла, проходит через центр окружности О, а другая сторона угла является касательной.
3. Шаг 3: Расстояние от центра окружности (О) до точки касания (на стороне угла А) равно радиусу r.
4. Шаг 4: Поскольку угол А равен 90°, то расстояние от точки О до одной из сторон угла (где происходит касание) будет перпендикулярным. Это расстояние и есть радиус r.
5. Шаг 5: В этом случае, так как ∠A = 90°, прямая OA является перпендикуляром к касательной, и точка касания будет находиться на расстоянии OA от точки А. Однако, условие «стороны угла А касаются окружности» при ∠A=90° означает, что окружность вписана в прямой угол.
6. Шаг 6: Если окружность вписана в прямой угол, то центр окружности находится на биссектрисе этого угла. Расстояние от центра до сторон угла равно радиусу. Если OA = 14 дм, где О — центр, а А — вершина прямого угла, то расстояние от О до каждой стороны угла будет 14 дм. Следовательно, радиус r равен 14 дм.

Ответ:

• а) \( OA = \frac{10\sqrt{3}}{3} ext{ см} \)
• б) \( r = 14 ext{ дм} \)