660. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника ABC с вершинами A(x₁; y₁; z₁), B(x₂; y₂; z₂), C(x₃; y₃; z₃) имеет координаты ((x₁ + x₂ + x₃)/3; (y₁ + y₂ + y₃)/3; (z₁ + z₂ + z₃)/3).

Обозначим середину стороны BC через D. По формуле координат середины отрезка:

\(D\left(\dfrac{x_2+x_3}{2};\dfrac{y_2+y_3}{2};\dfrac{z_2+z_3}{2}\right)\).

Пусть G — точка медианы AD, причём \(AG:GD=2:1\). Тогда координаты точки, делящей отрезок в данном отношении, равны:

\(x_G=\dfrac{x_1+2x_D}{3}=\dfrac{x_1+x_2+x_3}{3}\),

\(y_G=\dfrac{y_1+2y_D}{3}=\dfrac{y_1+y_2+y_3}{3}\),

\(z_G=\dfrac{z_1+2z_D}{3}=\dfrac{z_1+z_2+z_3}{3}\).

Тот же расчёт для медиан, проведённых из B и C, даёт те же координаты точки G. Следовательно, все три медианы проходят через G, и их точка пересечения имеет координаты \(\left(\dfrac{x_1+x_2+x_3}{3};\dfrac{y_1+y_2+y_3}{3};\dfrac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)\).