652 На полуокружности AB взяты точки C и D так, что AC = 37°, BD = 23°. Найдите хорду CD, если радиус окружности равен 15 см.

Решение:

Дано:

Радиус окружности \( R = 15 \) см.

Дуга \( AC = 37^{\circ} \), Дуга \( BD = 23^{\circ} \).

Найти:

Длину хорды \( CD \).

Решение:

1. Центральный угол, опирающийся на дугу \( AC \), равен самой дуге. Следовательно, \( \angle AOC = 37^{\circ} \).

2. Центральный угол, опирающийся на дугу \( BD \), равен самой дуге. Следовательно, \( \angle BOD = 23^{\circ} \).

3. Предположим, что точки \( A, C, D, B \) расположены на полуокружности в таком порядке. Тогда дуга \( AB \) составляет \( 180^{\circ} \).

4. Дуга \( CD \) равна \( \text{дуга } AB - \text{дуга } AC - \text{дуга } BD \) = \( 180^{\circ} - 37^{\circ} - 23^{\circ} = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \).

5. Центральный угол, опирающийся на дугу \( CD \), равен \( \angle COD = 120^{\circ} \).

6. Длину хорды \( CD \) можно найти по теореме косинусов для треугольника \( \triangle COD \), где \( OC = OD = R = 15 \) см.

\[ CD^2 = OC^2 + OD^2 - 2 \cdot OC \cdot OD \cdot \cos(\angle COD) \]

\[ CD^2 = 15^2 + 15^2 - 2 \cdot 15 \cdot 15 \cdot \cos(120^{\circ}) \]

\[ CD^2 = 225 + 225 - 2 \cdot 225 \cdot (-\frac{1}{2}) \]

\[ CD^2 = 450 + 225 = 675 \]

\[ CD = \(\sqrt{675}\) = \(\sqrt{225 \cdot 3}\) = 15\(\sqrt{3}\) \) см.

Примечание: Если порядок точек другой, например, A, D, C, B, то дуга CD = 180 - 23 - 37 = 120. Если точки расположены так, что CD является частью дуги AB, например, A, D, B, C, то дуга CD = 180 - 23 - 37 = 120. В любом случае, если C и D лежат на одной полуокружности AB, дуга CD будет равна 120 градусов.

Ответ: 15\(\sqrt{3}\) см.