648. a) √3+2√2 / √7+√24 + √3-2√2 / √7-√24; B) √4+2√3 - √4-2√3; б) √10-2√21 + √10+2√21.

Решение:

Для решения будем использовать формулу \( \sqrt{a \pm 2\sqrt{b}} = \sqrt{x} \pm \sqrt{y} \), где \( x+y=a \) и \( xy=b \).

а)

1. Разложим подкоренные выражения:
• \( \sqrt{3+2\sqrt{2}} \): \( a=3, b=2 \). Найдём \( x \) и \( y \): \( x+y=3, xy=2 \). Отсюда \( x=2, y=1 \). Значит, \( \sqrt{3+2\sqrt{2}} = \sqrt{2}+\sqrt{1} = \sqrt{2}+1 \).
• \( \sqrt{3-2\sqrt{2}} \): Аналогично, \( \sqrt{3-2\sqrt{2}} = \sqrt{2}-\sqrt{1} = \sqrt{2}-1 \).
• \( \sqrt{7+2\sqrt{12}} \) (так как \( \sqrt{24} = \sqrt{4\cdot6} = 2\sqrt{6} \), здесь ошибка в исходном условии, предположим, что было \( \sqrt{7+2\sqrt{12}} \), тогда \( a=7, b=12 \). Найдём \( x \) и \( y \): \( x+y=7, xy=12 \). Отсюда \( x=4, y=3 \). Значит, \( \sqrt{7+2\sqrt{12}} = \sqrt{4}+\sqrt{3} = 2+\sqrt{3} \).
• \( \sqrt{7-2\sqrt{12}} \): Аналогично, \( \sqrt{7-2\sqrt{12}} = \sqrt{4}-\sqrt{3} = 2-\sqrt{3} \).
• Подставим полученные значения:
• \( \frac{\sqrt{2}+1}{2+\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{2}-1}{2-\sqrt{3}} \)
• Приведём к общему знаменателю: \( \frac{(\sqrt{2}+1)(2-\sqrt{3}) + (\sqrt{2}-1)(2+\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} \)
• Числитель: \( (2\sqrt{2}-\sqrt{6}+2-\sqrt{3}) + (2\sqrt{2}+\sqrt{6}-2-\sqrt{3}) = 4\sqrt{2}-2\sqrt{3} \)
• Знаменатель: \( 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4-3 = 1 \)
• Итого: \( 4\sqrt{2}-2\sqrt{3} \).

б) (предполагается, что это задание в)

1. Разложим подкоренные выражения:
• \( \sqrt{4+2\sqrt{3}} \): \( a=4, b=3 \). Найдём \( x \) и \( y \): \( x+y=4, xy=3 \). Отсюда \( x=3, y=1 \). Значит, \( \sqrt{4+2\sqrt{3}} = \sqrt{3}+\sqrt{1} = \sqrt{3}+1 \).
• \( \sqrt{4-2\sqrt{3}} \): Аналогично, \( \sqrt{4-2\sqrt{3}} = \sqrt{3}-\sqrt{1} = \sqrt{3}-1 \).
• Подставим полученные значения:
• \( (\sqrt{3}+1) - (\sqrt{3}-1) = \sqrt{3}+1-\sqrt{3}+1 = 2 \).

г)

1. Разложим подкоренные выражения:
• \( \sqrt{10-2\sqrt{21}} \): \( a=10, b=21 \). Найдём \( x \) и \( y \): \( x+y=10, xy=21 \). Отсюда \( x=7, y=3 \). Значит, \( \sqrt{10-2\sqrt{21}} = \sqrt{7}-\sqrt{3} \).
• \( \sqrt{10+2\sqrt{21}} \): Аналогично, \( \sqrt{10+2\sqrt{21}} = \sqrt{7}+\sqrt{3} \).
• Подставим полученные значения:
• \( (\sqrt{7}-\sqrt{3}) + (\sqrt{7}+\sqrt{3}) = \sqrt{7}-\sqrt{3}+\sqrt{7}+\sqrt{3} = 2\sqrt{7} \).