64 Найдите изображённые на рисунке углы: а) 1, 3, 4, если ∠2=117°; б) 1, 2, 4, если ∠3 = 43°27′.

Решение:

Предполагается, что на рисунке изображены пересекающиеся прямые, образующие углы. Будем использовать свойства смежных и вертикальных углов.

а) Если ∠2 = 117°:

1. Угол 1 является смежным с углом 2. Сумма смежных углов равна 180°. Значит, \( \angle 1 = 180° - \angle 2 = 180° - 117° = 63° \).
2. Угол 3 вертикален углу 1. Вертикальные углы равны. Значит, \( \angle 3 = \angle 1 = 63° \).
3. Угол 4 является смежным с углом 2. Сумма смежных углов равна 180°. Значит, \( \angle 4 = 180° - \angle 2 = 180° - 117° = 63° \).
4. Проверка: угол 4 вертикален углу 2. \( \angle 4 = 117° \). Ошибка в рассуждении. Угол 4 смежен с углом 3. \( \angle 4 = 180° - \angle 3 = 180° - 63° = 117° \).
5. Проверка: сумма углов вокруг точки пересечения: \( \angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + \angle 4 = 63° + 117° + 63° + 117° = 360° \).

б) Если ∠3 = 43°27′:

1. Угол 3 вертикален углу 1. Значит, \( \angle 1 = \angle 3 = 43°27' \).
2. Угол 2 является смежным с углом 3. Сумма смежных углов равна 180°. Значит, \( \angle 2 = 180° - \angle 3 = 180° - 43°27' = 179°60' - 43°27' = 136°33' \).
3. Угол 4 вертикален углу 2. Значит, \( \angle 4 = \angle 2 = 136°33' \).
4. Проверка: сумма углов вокруг точки пересечения: \( \angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + \angle 4 = 43°27' + 136°33' + 43°27' + 136°33' = 360° \).

Ответ: а) ∠1 = 63°, ∠3 = 63°, ∠4 = 63°. б) ∠1 = 43°27′, ∠2 = 136°33′, ∠4 = 136°33′.