635 Через точку А окружности проведены касательная и хорда, равная радиусу окружности. Найдите угол между ними.

Решение:

Пусть O — центр окружности, A — точка на окружности. AB — касательная, AC — хорда. По условию, длина хорды AC равна радиусу окружности, то есть \( AC = R \).

Рассмотрим треугольник AOC. Стороны AO и OC являются радиусами окружности, значит \( AO = OC = R \). Поскольку \( AC = R \), треугольник AOC является равносторонним.

Углы равностороннего треугольника равны \( 60^\circ \). Следовательно, \( ∠ AOC = 60^\circ \).

Касательная AB перпендикулярна радиусу OA, проведённому в точку касания. Поэтому \( ∠ OAB = 90^\circ \).

Искомый угол между касательной AB и хордой AC равен \( ∠ BAC \). Мы можем найти его как разность углов:

\( ∠ BAC = ∠ OAB - ∠ OAC \)

\( ∠ BAC = 90^\circ - 60^\circ \)

\( ∠ BAC = 30^\circ \)

Ответ: 30°.