631. Найдите корни уравнения: a) y²/y+3 = y/y+3; б) x²/x2-4 = 5x-6/x2-4; в) 2x²/x-2 = -7x+6/2-xi г) у²-6у/у-5 = 5/5-уі д) 2х-1/x+7 = 3х+4/x-1; е) 2y+3/2y-1 = -5/y+3; ж) 5y+1/y+1 = y+2/yi 3) 1+3x/1-2x = 5-3x/1+2xi и) х-1/2х+3 - 2х-1/3-2x = 0.

Решение:

• a) y²/y+3 = y/y+3

  В данном уравнении знаменатели одинаковы. Для того чтобы дробь имела смысл, знаменатель не должен быть равен нулю, то есть y+3 ≠ 0, откуда y ≠ -3. Так как знаменатели равны, приравниваем числители: y² = y. Переносим все члены в одну сторону: y² - y = 0. Выносим y за скобки: y(y - 1) = 0. Отсюда получаем два возможных решения: y = 0 или y - 1 = 0, то есть y = 1. Оба корня удовлетворяют условию y ≠ -3.

• б) x²/x2-4 = 5x-6/x2-4

  Знаменатель x²-4 не должен быть равен нулю. x² ≠ 4, следовательно, x ≠ 2 и x ≠ -2. Так как знаменатели равны, приравниваем числители: x² = 5x - 6. Переносим все в одну сторону: x² - 5x + 6 = 0. Это квадратное уравнение. Находим дискриминант: D = (-5)² - 4⋅1⋅6 = 25 - 24 = 1. Корни уравнения: x₁ = (5 + √1) / 2 = 6 / 2 = 3; x₂ = (5 - √1) / 2 = 4 / 2 = 2. Однако, мы определили, что x ≠ 2. Значит, подходит только x = 3.

• в) 2x²/x-2 = -7x+6/2-xi

  Перепишем уравнение, приведя знаменатели к одному виду: 2x²/(x-2) = (-7x+6)/-(x-2). Умножим обе части на -(x-2), но перед этим определим условие: x-2 ≠ 0, то есть x ≠ 2. Тогда получим: -2x² = -7x + 6. Перенесем все в одну сторону: 2x² - 7x + 6 = 0. Найдем дискриминант: D = (-7)² - 4⋅2⋅6 = 49 - 48 = 1. Корни уравнения: x₁ = (7 + √1) / (2⋅2) = 8 / 4 = 2; x₂ = (7 - √1) / (2⋅2) = 6 / 4 = 3/2. Корень x = 2 не подходит, так как знаменатель обращается в ноль. Следовательно, единственный корень: x = 3/2.

• г) у²-6у/у-5 = 5/5-уі

  Преобразуем знаменатели: (y²-6y)/(y-5) = 5/-(y-5). Умножим обе части на -(y-5), определив условие: y-5 ≠ 0, то есть y ≠ 5. Получим: -(y²-6y) = 5. Раскроем скобки: -y² + 6y = 5. Перенесем все в одну сторону: y² - 6y + 5 = 0. Найдем дискриминант: D = (-6)² - 4⋅1⋅5 = 36 - 20 = 16. Корни уравнения: y₁ = (6 + √16) / 2 = (6 + 4) / 2 = 10 / 2 = 5; y₂ = (6 - √16) / 2 = (6 - 4) / 2 = 2 / 2 = 1. Корень y = 5 не подходит, так как знаменатель обращается в ноль. Следовательно, единственный корень: y = 1.

• д) 2х-1/x+7 = 3х+4/x-1

  Перемножим крест-накрест: (2x-1)(x-1) = (3x+4)(x+7). Раскроем скобки: 2x² - 2x - x + 1 = 3x² + 21x + 4x + 28. Упростим: 2x² - 3x + 1 = 3x² + 25x + 28. Перенесем все в одну сторону: 3x² - 2x² + 25x + 3x + 28 - 1 = 0. Получим: x² + 28x + 27 = 0. Найдем дискриминант: D = 28² - 4⋅1⋅27 = 784 - 108 = 676. √D = 26. Корни уравнения: x₁ = (-28 + 26) / 2 = -2 / 2 = -1; x₂ = (-28 - 26) / 2 = -54 / 2 = -27. Оба корня допустимы, так как знаменатели (x+7 и x-1) не равны нулю при x = -1 и x = -27.

• е) 2y+3/2y-1 = y-5/y+3

  Перемножим крест-накрест: (2y+3)(y+3) = (y-5)(2y-1). Раскроем скобки: 2y² + 6y + 3y + 9 = 2y² - y - 10y + 5. Упростим: 2y² + 9y + 9 = 2y² - 11y + 5. Сократим 2y² с обеих сторон: 9y + 9 = -11y + 5. Перенесем члены с y в одну сторону, а числа — в другую: 9y + 11y = 5 - 9. Получим: 20y = -4. Отсюда y = -4 / 20 = -1/5. Оба знаменателя 2y-1 и y+3 не равны нулю при y = -1/5.

• ж) 5y+1/y+1 = y+2/yi

  Перемножим крест-накрест: (5y+1)y = (y+2)(y+1). Раскроем скобки: 5y² + y = y² + y + 2y + 2. Упростим: 5y² + y = y² + 3y + 2. Перенесем все в одну сторону: 5y² - y² + y - 3y - 2 = 0. Получим: 4y² - 2y - 2 = 0. Разделим на 2: 2y² - y - 1 = 0. Найдем дискриминант: D = (-1)² - 4⋅2⋅(-1) = 1 + 8 = 9. Корни уравнения: y₁ = (1 + √9) / (2⋅2) = (1 + 3) / 4 = 4 / 4 = 1; y₂ = (1 - √9) / (2⋅2) = (1 - 3) / 4 = -2 / 4 = -1/2. Оба корня допустимы, так как знаменатели y+1 и y не равны нулю при y = 1 и y = -1/2.

• 3) 1+3x/1-2x = 5-3x/1+2xi

  Перепишем знаменатель правой части: (1+3x)/(1-2x) = (5-3x)/-(1-2x). Умножим обе части на -(1-2x), определив условие: 1-2x ≠ 0, то есть x ≠ 1/2. Получим: -(1+3x) = 5-3x. Раскроем скобки: -1 - 3x = 5 - 3x. Перенесем -3x в правую часть: -1 = 5. Это равенство неверно. Следовательно, уравнение не имеет корней.

• и) х-1/2х+3 - 2х-1/3-2x = 0

  Приведем дроби к общему знаменателю. Заметим, что 3-2x = -(2x-3). Поэтому общий знаменатель будет (2x+3)(2x-3). Перед второй дробью ставим знак плюс, а в знаменателе меняем знак: (x-1)/(2x+3) + (2x-1)/(2x-3) = 0. Приведем к общему знаменателю: [(x-1)(2x-3) + (2x-1)(2x+3)] / [(2x+3)(2x-3)] = 0. Для выполнения равенства нулю, числитель должен быть равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Условие: (2x+3)(2x-3) ≠ 0, то есть x ≠ -3/2 и x ≠ 3/2. Раскроем скобки в числителе: (2x² - 3x - 2x + 3) + (4x² - 9) = 0. Упростим: 2x² - 5x + 3 + 4x² - 9 = 0. Приведем подобные члены: 6x² - 5x - 6 = 0. Найдем дискриминант: D = (-5)² - 4⋅6⋅(-6) = 25 + 144 = 169. √D = 13. Корни уравнения: x₁ = (5 + 13) / (2⋅6) = 18 / 12 = 3/2; x₂ = (5 - 13) / (2⋅6) = -8 / 12 = -2/3. Корень x = 3/2 не подходит, так как знаменатель обращается в ноль. Следовательно, единственный корень: x = -2/3.

Финальные ответы:

• a) y = 0, y = 1
• б) x = 3
• в) x = 3/2
• г) y = 1
• д) x = -1, x = -27
• е) y = -1/5
• ж) y = 1, y = -1/2
• 3) Нет корней
• и) x = -2/3