613. Решите прямоугольный треугольник.

Решение:

Задачи на решение прямоугольного треугольника включают нахождение неизвестных сторон и углов по известным данным. Для этого используются тригонометрические соотношения (синус, косинус, тангенс) и теорема Пифагора.

1) По гипотенузе и острому углу:

• Дано: с = 28 см, $$\alpha$$ = 48°.

Находим катеты:

• Катет a: \( a = c · \sin(\alpha) \)
• \( a = 28 \cdot \sin(48^{\circ}) \approx 28 \cdot 0.743 \approx 20.81 \) см.
• Катет b: \( b = c \cdot \cos(\alpha) \)
• \( b = 28 \cdot \cos(48^{\circ}) \approx 28 \cdot 0.669 \approx 18.73 \) см.

Находим второй острый угол:

• \( \beta = 90^{\circ} - \alpha \)
• \( \beta = 90^{\circ} - 48^{\circ} = 42^{\circ} \)

2) По катету и острому углу:

• Дано: a = 56 см, В = 74°.

Находим второй катет:

• Катет b: \( b = a / \tan(\beta) \)
• \( b = 56 / \tan(74^{\circ}) \approx 56 / 3.487 \approx 16.06 \) см.

Находим гипотенузу:

• Гипотенуза c: \( c = a / \sin(\alpha) \)
• \( \alpha = 90^{\circ} - \beta = 90^{\circ} - 74^{\circ} = 16^{\circ} \)
• \( c = 56 / \sin(16^{\circ}) \approx 56 / 0.276 \approx 202.90 \) см.

3) По катету и гипотенузе:

• Дано: a = 5 см, c = 9 см.

Находим второй катет:

• Катет b: \( b = \sqrt{c^2 - a^2} \)
• \( b = \sqrt{9^2 - 5^2} = \sqrt{81 - 25} = \sqrt{56} \approx 7.48 \) см.

Находим острые углы:

• Угол $$\alpha$$: \( \sin(\alpha) = a / c = 5 / 9 \)
• \( \alpha = \arcsin(5/9) \approx 33.75^{\circ} \)
• Угол $$\beta$$: \( \beta = 90^{\circ} - \alpha \)
• \( \beta \approx 90^{\circ} - 33.75^{\circ} = 56.25^{\circ} \)

4) По двум катетам:

• Дано: a = 3 см, b = 7 см.

Находим гипотенузу:

• Гипотенуза c: \( c = \sqrt{a^2 + b^2} \)
• \( c = \sqrt{3^2 + 7^2} = \sqrt{9 + 49} = \sqrt{58} \approx 7.62 \) см.

Находим острые углы:

• Угол $$\alpha$$: \( \tan(\alpha) = a / b = 3 / 7 \)
• \( \alpha = \arctan(3/7) \approx 23.20^{\circ} \)
• Угол $$\beta$$: \( \beta = 90^{\circ} - \alpha \)
• \( \beta \approx 90^{\circ} - 23.20^{\circ} = 66.80^{\circ} \)