605 Точки M и N являются серединами рёбер AB и A₁D₁ параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁. Разложите, если это возможно, по векторам AB и AD вектор: а) AC; б) CM; в) C₁N; г) AC₁; д) A₁N; e) AN; ж) MD.

Решение:

Введём векторы \( \vec{AB} = \vec{a} \) и \( \vec{AD} = \vec{b} \). Так как ABCD — параллелограмм, то \( \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{a} + \vec{b} \). Точка M — середина ребра AB, значит \( \vec{AM} = \frac{1}{2} \vec{AB} = \frac{1}{2} \vec{a} \). Точка N — середина ребра A₁D₁. Вектор \( \vec{AA_1} = \vec{B_1B} = \vec{C_1C} = \vec{D_1D} \) (например, \( \vec{AA_1} = \vec{b_1} \) ).

Разложим векторы:

а) \( \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{a} + \vec{b} \).

б) \( \vec{CM} = \vec{AM} - \vec{AC} = \frac{1}{2} \vec{a} - (\vec{a} + \vec{b}) = \frac{1}{2} \vec{a} - \vec{a} - \vec{b} = -\frac{1}{2} \vec{a} - \vec{b} \).

в) \( \vec{C_1N} \). Из условия следует, что \( \vec{A_1D_1} = \vec{AD} = \vec{b} \). Так как N — середина A₁D₁, то \( \vec{A_1N} = \frac{1}{2} \vec{A_1D_1} = \frac{1}{2} \vec{b} \). Вектор \( \vec{C_1N} = \vec{C_1A_1} + \vec{A_1N} \). Вектор \( \vec{C_1A_1} = -\vec{AC} = -(\vec{a} + \vec{b}) \). Значит, \( \vec{C_1N} = -\vec{a} - \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{b} = -\vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} \).

г) \( \vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1} + \vec{B_1C_1} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{a} = 2\vec{a} + \vec{b} \). (Один из возможных вариантов разложения. Можно также \( \vec{AC_1} = \vec{AA_1} + \vec{A_1C_1} = \vec{b} + \vec{a} \) — если \( \vec{AA_1} \) не перпендикулярно \( \vec{AB} \), что не следует из условия, что это параллелепипед. Уточнение: \( \vec{A_1C_1} = \vec{A_1B_1} + \vec{B_1C_1} = \vec{a} \). \( \vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CC_1} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{b} = \vec{a} + 2\vec{b} \) . В параллелепипеде \( \vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1} \). Если \( \vec{AA_1} \) это \( \vec{b} \) то \( \vec{AC_1} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{b} = \vec{a} + 2\vec{b} \). Если \( \vec{AA_1} \) — третий вектор, то \( \vec{AC_1} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} \)). Предполагаем, что \( \vec{AA_1} \) — вектор, не лежащий в плоскости основания. Тогда \( \vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1} \) (если \( \vec{AA_1} \) — вектор, перпендикулярный плоскости основания). Более стандартно \( \vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{B C} + \vec{C C_1} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{AA_1} \).

Учитывая, что \( ABCD \) — основание параллелепипеда, а \( A_1B_1C_1D_1 \) — верхнее основание, то \( \vec{AA_1} \) — это вектор бокового ребра. Векторы \( \vec{AB} \) и \( \vec{AD} \) лежат в основании. \( \vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CC_1} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{AA_1} \). Если \( \vec{AA_1} \) считать вектором, перпендикулярным плоскости основания, то \( \vec{AC_1} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{AA_1} \).

Предположим, что \( \vec{AA_1} \) — это третий базисный вектор. Тогда \( \vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1} \) не совсем корректно. Корректно: \( \vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1} + \vec{B_1C_1} = \vec{a} + \vec{AA_1} + \vec{b} \). Если \( \vec{AA_1} \) — третий базисный вектор, то \( \vec{AC_1} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{AA_1} \). Однако, если \( \vec{AA_1} \) тоже является базисным вектором, то \( \vec{AC_1} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} \).

По условию \( \vec{AB} \) и \( \vec{AD} \) — векторы, по которым нужно разложить. Значит, \( \vec{AA_1} \) не является базисным вектором в данном контексте, а может быть выражен через \( \vec{AB} \) и \( \vec{AD} \) если это наклонный параллелепипед. Если это прямой параллелепипед, то \( \vec{AA_1} \) перпендикулярен \( \vec{AB} \) и \( \vec{AD} \).

Разложим \( \vec{AC_1} \) используя базис \( \vec{AB} \) и \( \vec{AD} \). \( \vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CC_1} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{AA_1} \). Если \( \vec{AA_1} \) не может быть выражен через \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \), то разложение невозможно. Предполагаем, что \( \vec{AA_1} \) может быть выражен. Условие задачи «Разложите, если это возможно» указывает на это. Но нет данных для выражения \( \vec{AA_1} \) через \( \vec{AB} \) и \( \vec{AD} \).

Предположим, что \( \vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1} \) где \( \vec{AA_1} \) — некоторый вектор. Если \( \vec{AA_1} \) выражается как \( k_1 \vec{a} + k_2 \vec{b} \), то разложение возможно. Однако, без дополнительной информации, \( \vec{AC_1} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{AA_1} \) — это разложение по трём векторам. Если задача подразумевает разложение по двум векторам \( \vec{AB} \) и \( \vec{AD} \), то \( \vec{AC_1} \) возможно выразить только в том случае, если \( \vec{AA_1} \) лежит в плоскости \( ABCD \), что противоречит условию параллелепипеда. Отсюда, вероятно, разложение \( \vec{AC_1} \) по \( \vec{AB} \) и \( \vec{AD} \) невозможно.

Вывод: разложение \( \vec{AC_1} \) по векторам \( \vec{AB} \) и \( \vec{AD} \) невозможно, если \( \vec{AA_1} \) не лежит в плоскости \( ABCD \).

д) \( \vec{A_1N} \). \( \vec{A_1N} = \frac{1}{2} \vec{A_1D_1} = \frac{1}{2} \vec{AD} = \frac{1}{2} \vec{b} \).

е) \( \vec{AN} \). \( \vec{AN} = \vec{AA_1} + \vec{A_1N} = \vec{AA_1} + \frac{1}{2} \vec{b} \). Опять же, без возможности выразить \( \vec{AA_1} \), разложение невозможно.

Вывод: разложение \( \vec{AN} \) по векторам \( \vec{AB} \) и \( \vec{AD} \) невозможно, если \( \vec{AA_1} \) не выражается через \( \vec{AB} \) и \( \vec{AD} \).

ж) \( \vec{MD} \). \( \vec{MD} = \vec{AD} - \vec{AM} = \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{a} \).

Ответ:

а) \( \vec{AC} = \vec{a} + \vec{b} \)

б) \( \vec{CM} = -\frac{1}{2} \vec{a} - \vec{b} \)

в) \( \vec{C_1N} = -\vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} \) (при условии, что \( \vec{C_1A_1} = \vec{BA} = -\vec{a} \), что верно для параллелепипеда)

г) Разложение \( \vec{AC_1} \) по \( \vec{AB} \) и \( \vec{AD} \) невозможно.

д) \( \vec{A_1N} = \frac{1}{2} \vec{b} \)

е) Разложение \( \vec{AN} \) по \( \vec{AB} \) и \( \vec{AD} \) невозможно.

ж) \( \vec{MD} = -\frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b} \)