605. Найдите корни уравнения: a) $$\frac{x-4}{x-5}+\frac{x-6}{x+5}=2$$ б) $$\frac{1}{2-x}-1=\frac{1}{x-2}-\frac{6-x}{3x^2-12}$$ в) $$\frac{7y-3}{y-y^2}=\frac{1}{y-1}-\frac{5}{y(y-1)}$$ г) $$\frac{3}{y-2}+\frac{7}{y+2}=\frac{10}{y}$$ д) $$\frac{x+3}{x-3}+\frac{x-3}{x+3}=3\frac{1}{3}$$ е) $$\frac{5x+7}{x-2}-\frac{2x+21}{x+2}=8\frac{2}{3}$$

а) Решение:

1. Приведем к общему знаменателю: $$\frac{(x-4)(x+5) + (x-6)(x-5)}{(x-5)(x+5)} = 2$$
2. Раскроем скобки: $$\frac{x^2+5x-4x-20 + x^2-5x-6x+30}{x^2-25} = 2$$
3. Упростим числитель: $$\frac{2x^2-10x+10}{x^2-25} = 2$$
4. Умножим обе стороны на $$(x^2-25)$$: $$2x^2-10x+10 = 2(x^2-25)$$
5. Раскроем скобки: $$2x^2-10x+10 = 2x^2-50$$
6. Перенесем все в одну сторону: $$2x^2-10x+10 - 2x^2+50 = 0$$
7. Упростим: $$-10x+60 = 0$$
8. Решим линейное уравнение: $$10x = 60$$, $$x = 6$$
9. Проверим, что знаменатели не равны нулю при $$x=6$$: $$6-5=1
   e 0$$, $$6+5=11
   e 0$$.

Ответ: $$x=6$$

б) Решение:

1. Приведем дроби к общему знаменателю. Заметим, что $$3x^2-12 = 3(x^2-4) = 3(x-2)(x+2)$$.
2. Уравнение примет вид: $$\frac{1}{2-x}-1=\frac{1}{x-2}-\frac{6-x}{3(x-2)(x+2)}$$
3. Заменим $$2-x$$ на $$-(x-2)$$: $$\frac{-1}{x-2}-1=\frac{1}{x-2}-\frac{6-x}{3(x-2)(x+2)}$$
4. Перенесем все члены с $$x-2$$ в левую часть, а константу в правую: $$\frac{-1}{x-2}-\frac{1}{x-2} = 1 - \frac{6-x}{3(x-2)(x+2)}$$
5. Упростим левую часть: $$\frac{-2}{x-2} = 1 - \frac{6-x}{3(x-2)(x+2)}$$
6. Приведем правую часть к общему знаменателю $$3(x-2)(x+2)$$: $$\frac{-2}{x-2} = \frac{3(x-2)(x+2) - (6-x)}{3(x-2)(x+2)}$$
7. Умножим обе части на $$3(x-2)(x+2)$$: $$-2 · 3(x+2) = 3(x^2-4) - (6-x)$$
8. Раскроем скобки: $$-6(x+2) = 3x^2-12 - 6+x$$
9. $$-6x-12 = 3x^2+x-18$$
10. Перенесем все в правую часть: $$3x^2+x-18+6x+12 = 0$$
11. Приведем подобные: $$3x^2+7x-6 = 0$$
12. Решим квадратное уравнение через дискриминант: $$D = b^2-4ac = 7^2 - 4 · 3 · (-6) = 49 + 72 = 121$$.
13. $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 11}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$.
14. $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - 11}{6} = \frac{-18}{6} = -3$$.
15. Проверим, что знаменатели не равны нулю при $$x=2/3$$ и $$x=-3$$.
16. При $$x=2/3$$: $$2-2/3 = 4/3
    e 0$$.
17. При $$x=-3$$: $$2-(-3) = 5
    e 0$$, $$3(-3)^2-12 = 3(9)-12 = 27-12 = 15
    e 0$$.

Ответ: $$x=\frac{2}{3}$$, $$x=-3$$

в) Решение:

1. Заметим, что $$y-y^2 = y(1-y) = -y(y-1)$$.
2. Уравнение примет вид: $$\frac{7y-3}{-y(y-1)} = \frac{1}{y-1} - \frac{5}{y(y-1)}$$
3. Умножим обе части на $$-y(y-1)$$, чтобы избавиться от знаменателей. Перед этим приведем к общему знаменателю правую часть: $$\frac{7y-3}{-y(y-1)} = \frac{y - 5}{y(y-1)}$$
4. Приведем левую часть к общему знаменателю $$y(y-1)$$: $$\frac{-(7y-3)}{y(y-1)} = \frac{y-5}{y(y-1)}$$
5. Уравняем числители: $$-(7y-3) = y-5$$
6. Раскроем скобки: $$-7y+3 = y-5$$
7. Перенесем члены с $$y$$ в правую часть, а константы в левую: $$3+5 = y+7y$$
8. $$8 = 8y$$
9. $$y=1$$
10. Проверим знаменатели: при $$y=1$$, $$y-y^2 = 1-1=0$$. Знаменатель обращается в ноль, следовательно, $$y=1$$ не является корнем уравнения.

Ответ: Корней нет

г) Решение:

1. Приведем к общему знаменателю $$y(y-2)(y+2)$$.
2. $$\frac{3(y+2) + 7(y-2)}{y(y-2)(y+2)} = \frac{10}{y}$$
3. $$\frac{3y+6 + 7y-14}{y(y^2-4)} = \frac{10}{y}$$
4. $$\frac{10y-8}{y(y^2-4)} = \frac{10}{y}$$
5. Умножим обе стороны на $$y$$: $$\frac{10y-8}{y^2-4} = 10$$
6. Умножим обе стороны на $$(y^2-4)$$: $$10y-8 = 10(y^2-4)$$
7. $$10y-8 = 10y^2-40$$
8. Перенесем все в одну сторону: $$10y^2-10y-40+8 = 0$$
9. $$10y^2-10y-32 = 0$$
10. Разделим на 2: $$5y^2-5y-16 = 0$$
11. Решим квадратное уравнение через дискриминант: $$D = b^2-4ac = (-5)^2 - 4 · 5 · (-16) = 25 + 320 = 345$$.
12. $$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{345}}{10}$$.
13. $$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{345}}{10}$$.
14. Проверим, что знаменатели не равны нулю. $$y=0$$, $$y=2$$, $$y=-2$$.
15. $$\\sqrt{345}$$ не равно 5, 10, -10.

Ответ: $$y=\frac{5 \pm \sqrt{345}}{10}$$

д) Решение:

1. Приведем к общему знаменателю $$(x-3)(x+3)$$.
2. $$\frac{(x+3)^2 + (x-3)^2}{(x-3)(x+3)} = \frac{31}{3}$$
3. $$(x+3)^2 = x^2+6x+9$$
4. $$(x-3)^2 = x^2-6x+9$$
5. $$(x-3)(x+3) = x^2-9$$
6. $$\frac{x^2+6x+9 + x^2-6x+9}{x^2-9} = \frac{31}{3}$$
7. $$\frac{2x^2+18}{x^2-9} = \frac{31}{3}$$
8. Умножим крест-накрест: $$3(2x^2+18) = 31(x^2-9)$$
9. $$6x^2+54 = 31x^2-279$$
10. Перенесем все в правую часть: $$31x^2-6x^2-279-54 = 0$$
11. $$25x^2-333 = 0$$
12. $$25x^2 = 333$$
13. $$x^2 = \frac{333}{25}$$
14. $$x = \pm\sqrt{\frac{333}{25}} = \pm\frac{\sqrt{333}}{5} = \pm\frac{\sqrt{9 \cdot 37}}{5} = \pm\frac{3\sqrt{37}}{5}$$
15. Проверим, что знаменатели не равны нулю. $$x=3$$ и $$x=-3$$.
16. $$\pm\frac{3\sqrt{37}}{5}
    e \pm 3$$.

Ответ: $$x = \pm\frac{3\sqrt{37}}{5}$$

е) Решение:

1. Приведем к общему знаменателю $$(x-2)(x+2)$$.
2. $$\frac{(5x+7)(x+2) - (2x+21)(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{82}{3}$$
3. $$(5x+7)(x+2) = 5x^2+10x+7x+14 = 5x^2+17x+14$$
4. $$(2x+21)(x-2) = 2x^2-4x+21x-42 = 2x^2+17x-42$$
5. $$(x-2)(x+2) = x^2-4$$
6. $$\frac{(5x^2+17x+14) - (2x^2+17x-42)}{x^2-4} = \frac{82}{3}$$
7. $$\frac{5x^2+17x+14-2x^2-17x+42}{x^2-4} = \frac{82}{3}$$
8. $$\frac{3x^2+56}{x^2-4} = \frac{82}{3}$$
9. Умножим крест-накрест: $$3(3x^2+56) = 82(x^2-4)$$
10. $$9x^2+168 = 82x^2-328$$
11. Перенесем все в правую часть: $$82x^2-9x^2-328-168 = 0$$
12. $$73x^2 - 496 = 0$$
13. $$73x^2 = 496$$
14. $$x^2 = \frac{496}{73}$$
15. $$x = \pm\sqrt{\frac{496}{73}}$$
16. Проверим, что знаменатели не равны нулю. $$x=2$$ и $$x=-2$$.
17. $$\sqrt{\frac{496}{73}}
    e \pm 2$$.

Ответ: $$x = \pm\sqrt{\frac{496}{73}}$$