6. Вычислите: \( (x-1)(x^{29} + x^{28} + x^{27} + ... + x^2 + x + 1) - x^{30} \) при \( x = 0,67 \).

Решение:

Данное выражение представляет собой разность между произведением многочлена и разностью двух множителей, которая является формулой суммы геометрической прогрессии.

1. Рассмотрим произведение \( (x-1)(x^{29} + x^{28} + x^{27} + ... + x^2 + x + 1) \).
2. Это формула разности кубов, примененная к случаю с большим количеством членов. Если умножить \( x \) на каждый член второй скобки, а затем вычесть \( 1 \), умноженный на каждый член второй скобки, получим:
• \( x^{30} + x^{29} + x^{28} + ... + x^3 + x^2 + x \)
• \( -(x^{29} + x^{28} + x^{27} + ... + x^2 + x + 1) \)
• При вычитании все члены, кроме \( x^{30} \) и \( -1 \), сокращаются.
• Таким образом, \( (x-1)(x^{29} + x^{28} + ... + x + 1) = x^{30} - 1 \).
3. Теперь подставим это в исходное выражение:
• \( (x^{30} - 1) - x^{30} \)
• \( x^{30} - 1 - x^{30} = -1 \)
4. Значение выражения не зависит от \( x \).

Ответ: -1