6. Вычислить несобственный интеграл или установить его сходимость: а) \(\displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{16x\,dx}{16x^4-1}\).

На промежутке \([1,+\infty)\) знаменатель не обращается в ноль. Сделаем замену \(u=x^2\), тогда \(du=2x\,dx\), а \(16x\,dx=8\,du\):

\[\int_{1}^{\infty}\frac{16x\,dx}{16x^4-1}=\int_{1}^{\infty}\frac{8\,du}{16u^2-1}.\]

Первообразная подынтегральной функции равна \(\ln\left|\frac{4u-1}{4u+1}\right|\), поскольку производная этого выражения равна \(\frac{8}{16u^2-1}\). Вычислим предел:

\[\lim_{b\to\infty}\left[\ln\left(\frac{4u-1}{4u+1}\right)\right]_{1}^{b}=\lim_{b\to\infty}\ln\left(\frac{4b-1}{4b+1}\right)-\ln\left(\frac35\right)=0-\ln\left(\frac35\right)=\ln\left(\frac53\right).\]

Ответ: интеграл сходится и равен \(\ln\frac53\).