6. Вычислить: ∫ (13-6x)/(6+x-x^2) dx

Решение:

Для вычисления интеграла \( \int \frac{13-6x}{6+x-x^2} dx \) разложим знаменатель на множители и применим метод неопределённых коэффициентов.

Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - x - 6 = 0 \):

\[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-6)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2} \]

Корни: \( x_1 = \frac{1+5}{2} = 3 \) и \( x_2 = \frac{1-5}{2} = -2 \).

Значит, \( 6+x-x^2 = -(x^2-x-6) = -(x-3)(x+2) = (3-x)(x+2) \).

Разложим подынтегральную дробь на простейшие:

\[ \frac{13-6x}{(3-x)(x+2)} = \frac{A}{3-x} + \frac{B}{x+2} \]

Умножим обе части на \( (3-x)(x+2) \):

\[ 13-6x = A(x+2) + B(3-x) \]

При \( x = 3 \):

\[ 13-6(3) = A(3+2) + B(3-3) \]\[ 13-18 = 5A \]\[ -5 = 5A \]\[ A = -1 \]

При \( x = -2 \):

\[ 13-6(-2) = A(-2+2) + B(3-(-2)) \]\[ 13+12 = B(5) \]\[ 25 = 5B \]\[ B = 5 \]

Таким образом, интеграл принимает вид:

\[ \int \left( \frac{-1}{3-x} + \frac{5}{x+2} \right) dx = - \int \frac{1}{3-x} dx + 5 \int \frac{1}{x+2} dx \]

Вычислим интегралы:

\[ - \int \frac{1}{3-x} dx = -(-\ln|3-x|) = \ln|3-x| \]

\[ 5 \int \frac{1}{x+2} dx = 5\ln|x+2| \]

Следовательно, полный интеграл:

\[ \ln|3-x| + 5\ln|x+2| + C \]

Поскольку \( |3-x| = |x-3| \), окончательный ответ:

\[ \ln|x-3| + 5\ln|x+2| + C \]

Этот результат соответствует варианту 1.

Ответ: 1. \( \ln|x-3|+5\ln|x+2|+C \)