6. Вдоль китайской стены ходит охранник. Он может ходить только вправо или влево (вдоль стены), и при этом, в первый ход он делает один шаг, во второй ход два шага, в третий — три и т.д. Всего он сделал 1010 ходов. Могло ли получиться так, что он вернулся в то место, откуда начал ходить?

Решение:

Пусть охранник ходит по прямой линии. Обозначим движение вправо как +1, а движение влево как -1. Тогда каждый ход можно представить как \( \pm k \), где \( k \) — номер хода.

В данной задаче каждый ход — это шаг. Первый ход — 1 шаг, второй — 2 шага, ..., 1010-й ход — 1010 шагов. Обозначим направление каждого хода как \( \sigma_i \), где \( \sigma_i = +1 \) (вправо) или \( \sigma_i = -1 \) (влево) для \( i \)-го хода.

Общее перемещение после 1010 ходов равно сумме перемещений по каждому ходу: \( S = \sum_{i=1}^{1010} \sigma_i \cdot i \).

Чтобы охранник вернулся в исходное положение, итоговое перемещение должно быть равно нулю: \( S = 0 \).

Рассмотрим сумму ходов: \( S = 1\sigma_1 + 2\sigma_2 + 3\sigma_3 + \dots + 1010\sigma_{1010} \).

Каждое слагаемое \( i\sigma_i \) является либо \( +i \), либо \( -i \).

Рассмотрим сумму всех ходов, когда все шаги направлены вправо: \( S_{all\_right} = 1 + 2 + 3 + … + 1010 \). Это сумма арифметической прогрессии: \( S_{all\_right} = \frac{1010 · (1010 + 1)}{2} = \frac{1010 · 1011}{2} = 505 · 1011 = 510555 \).

Теперь рассмотрим сумму ходов, когда все шаги направлены влево: \( S_{all\_left} = -1 - 2 - 3 - … - 1010 = -510555 \).

Перемещение \( S \) — это сумма вида \( ±1 ±2 ±3 ± … ±1010 \). Любое такое суммирование будет давать число, которое при делении на 2 дает остаток, зависящий от количества нечетных слагаемых, которые были взяты со знаком минус. В нашем случае, все слагаемые являются целыми числами. Чтобы сумма была равна нулю, нам нужно, чтобы сумма положительных слагаемых равнялась сумме отрицательных слагаемых.

Рассмотрим паритет суммы: \( S = ±1 ±2 ±3 ± … ±1010 \).

Сумма \( 1 + 2 + … + 1010 = 510555 \) (нечетное число).

Изменение знака у любого слагаемого \( k \) меняет сумму на \( 2k \). Например, если было \( +k \), а стало \( -k \), то изменение суммы равно \( -k - k = -2k \). Это значит, что изменение суммы будет всегда четным числом.

Поскольку начальная сумма \( S_{all\_right} = 510555 \) — нечетное число, а любое изменение знака у слагаемых дает четное изменение суммы, то итоговая сумма \( S \) всегда будет нечетным числом.

Так как 0 — четное число, невозможно получить 0 в качестве итогового перемещения, изменяя знаки у слагаемых в сумме \( 1 + 2 + … + 1010 \).

Ответ: Нет, не могло.