6. В равнобедренном треугольнике АВС ВК – медиана, проведенная к основанию. Точки Ми № принадлежат боковым сторонам. Луч КВ – биссектриса угла МКN . Докажите, что AM=NC.

Решение:

В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) ВК — медиана, проведенная к основанию. Следовательно, ВК является также высотой и биссектрисой. \( \angle ABK = \angle CBK \) и \( \angle AKB = \angle CKB = 90° \).

Точки М и N принадлежат боковым сторонам, значит, М лежит на АВ, а N лежит на ВС.

Луч КВ — биссектриса угла МКN. Это означает, что \( \angle MKB = \angle NKB \).

Рассмотрим треугольники АВК и СВК. Они равны по трем сторонам (АВ=ВС, АК=СК, ВК - общая) или по двум сторонам и углу между ними (АВ=ВС, \( \angle B \) - общий, BK - биссектриса).

Из равенства \( \triangle ABK = \triangle CBK \) следует, что \( \angle AKB = \angle CKB = 90° \) и \( \angle ABK = \angle CBK \).

Теперь рассмотрим треугольники МКВ и NKB:

• \( \angle MKB = \angle NKB \) (по условию, КВ — биссектриса \( \angle MKN \)).
• KB — общая сторона.
• \( \angle MBK = \angle NBK \) (так как \( \angle ABK = \angle CBK \), а М на АВ, N на ВС).

  По второму признаку равенства треугольников (угол-сторона-угол), \( \triangle MKB = \triangle NKB \).

  Из равенства этих треугольников следует, что МВ = NB.

  Так как М лежит на АВ, то AM = AB - MB.

  Так как N лежит на ВС, то NC = BC - NB.

  По условию АВ = ВС, и мы доказали, что MB = NB. Следовательно, AM = NC.

  Ответ: AM = NC, так как АВ = ВС и МВ = NB.