6. В окружности с центром О угол между диаметром MN и хордой NK равен 67°. Найдите углы KMN и МОК.

Решение:

1. Угол KMN: Треугольник KMN является прямоугольным, так как угол KMN вписан в окружность и опирается на диаметр MN. Следовательно, угол MKN = 90°. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°. Следовательно, \[ \angle KMN + \angle MNK = 90° \] Нам дан угол между диаметром MN и хордой NK, то есть \(\angle MNK = 67°\). \[ \angle KMN + 67° = 90° \] \[ \angle KMN = 90° - 67° \] \[ \angle KMN = 23° \]
2. Угол МОК: Угол MNK (67°) является вписанным углом, опирающимся на дугу MK. Центральный угол МОК опирается на ту же дугу MK. Величина центрального угла равна величине дуги, на которую он опирается. Величина вписанного угла равна половине дуги. Следовательно, центральный угол МОК в два раза больше вписанного угла MNK: \[ \angle MNK = \frac{1}{2} \angle MOK \] \[ 67° = \frac{1}{2} \angle MOK \] \[ \angle MOK = 2 \times 67° \] \[ \angle MOK = 134° \]

Ответ: Угол KMN = 23°, Угол МОК = 134°