Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Дано: \( AC \) и \( BD \) — диаметры окружности с центром \( O \). \( \angle ACB = 26^{\circ} \).
Найти: \( \angle AOD \).
1. Угол \( ACB \) — вписанный. Он опирается на дугу \( AB \). Градусная мера дуги \( AB \) равна удвоенной мере вписанного угла:
\[ m(\buildrel{\frown}\over{AB}) = 2 \cdot \angle ACB = 2 \cdot 26^{\circ} = 52^{\circ} \]
2. Угол \( AOD \) — центральный. Он опирается на дугу \( AD \). Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается:
\[ \angle AOD = m(\buildrel{\frown}\over{AD}) \]
3. Найдём дугу \( AD \). \( BD \) — диаметр, значит, дуга \( BAD \) равна \( 180^{\circ} \).
\[ m(\buildrel{\frown}\over{AD}) = m(\buildrel{\frown}\over{BAD}) - m(\buildrel{\frown}\over{AB}) = 180^{\circ} - 52^{\circ} = 128^{\circ} \]
4. Найдем угол \( AOD \):
\[ \angle AOD = m(\buildrel{\frown}\over{AD}) = 128^{\circ} \]
Альтернативное решение:
1. Угол \( ACB \) равен \( 26^{\circ} \).
2. Рассмотрим треугольник \( BOC \). \( OB = OC \) (радиусы), значит, \( \triangle BOC \) — равнобедренный. Угол \( OBC \) равен углу \( OCB \) = \( 26^{\circ} \).
3. Угол \( AOC \) — развёрнутый (180°), так как \( AC \) — диаметр.
4. Угол \( AOB \) — центральный, опирающийся на дугу \( AB \).
\[ \angle AOB = 180^{\circ} - (\angle OBC + \angle OCB) = 180^{\circ} - (26^{\circ} + 26^{\circ}) = 180^{\circ} - 52^{\circ} = 128^{\circ} \]
5. Углы \( AOB \) и \( DOC \) — вертикальные, поэтому \( \angle DOC = \angle AOB = 128^{\circ} \).
6. Углы \( AOD \) и \( BOC \) — вертикальные, поэтому \( \angle AOD = \angle BOC \).
7. В \( \triangle BOC \) найдём \( \angle BOC \):
\[ \angle BOC = 180^{\circ} - (\angle OBC + \angle OCB) = 180^{\circ} - (26^{\circ} + 26^{\circ}) = 180^{\circ} - 52^{\circ} = 128^{\circ} \]
8. Следовательно, \( \angle AOD = \angle BOC = 128^{\circ} \).
Ответ: 128°.
