6. В классе 25 учащихся. 9 из них после школы ходят в спортивную секцию, а 11 человек посещают музыкальную школу. Выберите верные утверждения и запишите в ответе их номера без пробелов, запятых или других дополнительных символов. 1) Найдётся 10 учащихся, которые и ходят в спортивную секцию, и посещают музыкальную школу. 2) Найдётся 5 учащихся, которые не ходят в спортивную секцию и не посещают музыкальную школу. 3) Меньше 10 учащихся и ходят в спортивную секцию, и посещают музыкальную школу. 4) Каждый учащийся, который посещает музыкальную школу, ходит в спортивную секцию.

Решение:

Всего в классе 25 учащихся.

Ходят в спортивную секцию: 9 чел.

Посещают музыкальную школу: 11 чел.

Обозначим:

• S — множество учащихся, ходящих в спортивную секцию.
• M — множество учащихся, посещающих музыкальную школу.

Нам известно, что \( |S| = 9 \) и \( |M| = 11 \). Общее число учащихся \( |U| = 25 \).

1. Найдётся 10 учащихся, которые и ходят в спортивную секцию, и посещают музыкальную школу.

Если бы \( |S \cap M| = 10 \), то \( |S \cup M| = |S| + |M| - |S \cap M| = 9 + 11 - 10 = 10 \). Это меньше общего числа учащихся, что возможно.

2. Найдётся 5 учащихся, которые не ходят в спортивную секцию и не посещают музыкальную школу.

Число учащихся, не ходящих в секцию и не посещающих школу, равно \( |U| - |S \cup M| \). Максимальное значение \( |S \text{ (не} M)| \) и \( |M \text{ (не} S)| \) может быть таким: \( |S| = 9 \), \( |M| = 11 \). Максимум, кто может ходить только в секцию: 9. Максимум, кто может ходить только в муз. школу: 11. Минимальное пересечение: \( |S \text{ и } M| \text{ min} = |S| + |M| - |U| = 9 + 11 - 25 = -3 \). Это означает, что пересечение может быть 0. Если \( |S \text{ и } M| = 0 \), то \( |S \text{ или } M| = 9 + 11 = 20 \). Тогда \( |U| - |S \text{ или } M| = 25 - 20 = 5 \). Это утверждение верно.

3. Меньше 10 учащихся и ходят в спортивную секцию, и посещают музыкальную школу.

Из предыдущего пункта мы видели, что пересечение может быть 10 (если \( |S \text{ или } M| = 10 \)). Утверждение «меньше 10» не обязательно верно. Но если \( |S|=9, |M|=11, |U|=25 \), то \( |S \text{ и } M| \text{ max} = \text{min}(|S|, |M|) = \text{min}(9, 11) = 9 \). Таким образом, количество учащихся, занимающихся и там, и там, не может быть больше 9. Значит, меньше 10 — это верно.

4. Каждый учащийся, который посещает музыкальную школу, ходит в спортивную секцию.

Это означает, что \( M \text{ есть } S \). Но \( |M|=11 \), а \( |S|=9 \). Это невозможно, так как число учащихся в музыкальной школе больше числа учащихся в спортивной секции. Значит, это утверждение неверно.

Проверим еще раз вариант 2. Если \( |S \text{ и } M| = 0 \), то \( |S \text{ или } M| = 9 + 11 = 20 \). Тогда \( 25 - 20 = 5 \) человек не занимаются ничем. Это возможно.

Проверим вариант 3. \( |S \text{ и } M| \text{ max} = 9 \). Утверждение «меньше 10» верно.

Проверим вариант 1. \( |S \text{ и } M| = 10 \) невозможно, так как \( |S| = 9 \). Значит, 10 учащихся и там, и там быть не может.

Итак, верные утверждения 2 и 3.

Ответ: 23