6. Упростите выражение: a) $$\frac{7^{n+1} + 7^n}{8^{n+1}} : \left(\frac{2^n}{28-n}\right)^{-1}$$ ;

Решение:

1. Вынесем общий множитель в числителе первой дроби:
   \( \frac{7^{n+1} + 7^n}{8^{n+1}} = \frac{7^n(7+1)}{8^{n+1}} = \frac{7^n \cdot 8}{8^{n+1}} = \frac{7^n}{8^n} = \left(\frac{7}{8}\right)^n \)
2. Преобразуем вторую часть выражения, учитывая отрицательную степень:
   \( \left(\frac{2^n}{28-n}\right)^{-1} = \frac{28-n}{2^n} \)
3. Теперь выполним деление:
   \( \left(\frac{7}{8}\right)^n : \frac{28-n}{2^n} = \left(\frac{7}{8}\right)^n \cdot \frac{2^n}{28-n} = \frac{7^n}{8^n} \cdot \frac{2^n}{28-n} = \frac{7^n}{(2^3)^n} \cdot \frac{2^n}{28-n} = \frac{7^n}{2^{3n}} \cdot \frac{2^n}{28-n} = \frac{7^n \cdot 2^n}{2^{3n} \cdot (28-n)} = \frac{(7 \cdot 2)^n}{2^{2n} \cdot (28-n)} = \frac{14^n}{4^n \cdot (28-n)} = \frac{1}{28-n} \cdot \left(\frac{14}{4}\right)^n = \frac{1}{28-n} \cdot \left(\frac{7}{2}\right)^n \)

Ответ: \( \frac{1}{28-n} \left(\frac{7}{2}\right)^n \).