6. Упростите выражение: a) \(\frac{4^{n+1} - 4^{n}}{15^{n+1}} : \left(\frac{5^{n}}{12-n}\right)^{-1}\); б) \(\left(\frac{a^{-1} - 1}{a^{-1} + 1}\right)^{-1}\).

6. Упрощение выражений:

1. 
   а) \(\( \frac{4^{n+1} - 4^{n}}{15^{n+1}} : \left(\frac{5^{n}}{12-n}\right)^{-1} \)\)
   
   \( = \frac{4^{n} \cdot 4^{1} - 4^{n}}{15^{n} \cdot 15^{1}} \cdot \frac{5^{n}}{12-n} \)
   
   \( = \frac{4^{n} (4 - 1)}{15^{n} \cdot 15} \cdot \frac{5^{n}}{12-n} \)
   
   \( = \frac{4^{n} \cdot 3}{15^{n} \cdot 15} \cdot \frac{5^{n}}{12-n} \)
   
   \( = \frac{4^{n} \cdot 3}{\left(3 \cdot 5\right)^{n} \cdot 15} \cdot \frac{5^{n}}{12-n} \)
   
   \( = \frac{4^{n} \cdot 3}{3^{n} \cdot 5^{n} \cdot 15} \cdot \frac{5^{n}}{12-n} \)
   
   \( = \frac{4^{n}}{3^{n} \cdot 15} \cdot \frac{1}{12-n} \)
   
   \( = \frac{4^{n}}{3^{n} \cdot 3 \cdot 5} \cdot \frac{1}{12-n} \)
   
   \( = \frac{4^{n}}{3^{n+1} \cdot 5 \cdot (12-n)} \)
   


2. 
   б) \(\( \left(\frac{a^{-1} - 1}{a^{-1} + 1}\right)^{-1} \)\)
   
   \( = \frac{a^{-1} + 1}{a^{-1} - 1} \)
   
   \( = \frac{\frac{1}{a} + 1}{\frac{1}{a} - 1} \)
   
   \( = \frac{\frac{1+a}{a}}{\frac{1-a}{a}} \)
   
   \( = \frac{1+a}{a} \cdot \frac{a}{1-a} \)
   
   \( = \frac{1+a}{1-a} \)
   

Ответ: а) \(\frac{4^{n}}{3^{n+1} \cdot 5 \cdot (12-n)}\); б) \(\frac{1+a}{1-a}\).