6. Упростите: a) (2x + y)³ - 6xy(2x + y); б) 27y²(x - y) – (x - 3y)³; в) (3a - b)³ - 3a(3a - b)²; г) 3b(a + 3b)² - (a + 3b)³.

Решение:

а) Упростим выражение \( (2x + y)^3 - 6xy(2x + y) \).

1. Сначала раскроем куб суммы: \( (2x + y)^3 = (2x)^3 + 3(2x)^2y + 3(2x)y^2 + y^3 = 8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3 \).
2. Теперь умножим \( 6xy \) на \( (2x + y) \): \( 6xy(2x + y) = 12x^2y + 6xy^2 \).
3. Подставим полученные выражения в исходное: \( (8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3) - (12x^2y + 6xy^2) \).
4. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: \( 8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3 - 12x^2y - 6xy^2 = 8x^3 + y^3 \).

Ответ: \( 8x^3 + y^3 \).

б) Упростим выражение \( 27y^2(x - y) – (x – 3y)^3 \).

1. Раскроем куб разности: \( (x - 3y)^3 = x^3 - 3x^2(3y) + 3x(3y)^2 - (3y)^3 = x^3 - 9x^2y + 27xy^2 - 27y^3 \).
2. Умножим \( 27y^2 \) на \( (x - y) \): \( 27y^2(x - y) = 27xy^2 - 27y^3 \).
3. Подставим полученные выражения в исходное: \( (27xy^2 - 27y^3) - (x^3 - 9x^2y + 27xy^2 - 27y^3) \).
4. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: \( 27xy^2 - 27y^3 - x^3 + 9x^2y - 27xy^2 + 27y^3 = -x^3 + 9x^2y \).

Ответ: \( -x^3 + 9x^2y \).

в) Упростим выражение \( (3a - b)^3 - 3a(3a - b)^2 \).

1. Вынесем общий множитель \( (3a - b)^2 \) за скобки: \( (3a - b)^2 [(3a - b) - 3a] \).
2. Упростим выражение во вторых скобках: \( (3a - b) - 3a = 3a - b - 3a = -b \).
3. Получаем: \( (3a - b)^2 (-b) \).
4. Раскроем квадрат разности: \( (9a^2 - 6ab + b^2)(-b) \).
5. Умножим на \( -b \): \( -9a^2b + 6ab^2 - b^3 \).

Ответ: \( -b(3a - b)^2 = -9a^2b + 6ab^2 - b^3 \).

г) Упростим выражение \( 3b(a + 3b)^2 - (a + 3b)^3 \).

1. Вынесем общий множитель \( (a + 3b)^2 \) за скобки: \( (a + 3b)^2 [3b - (a + 3b)] \).
2. Упростим выражение во вторых скобках: \( 3b - (a + 3b) = 3b - a - 3b = -a \).
3. Получаем: \( (a + 3b)^2 (-a) \).
4. Раскроем квадрат суммы: \( (a^2 + 6ab + 9b^2)(-a) \).
5. Умножим на \( -a \): \( -a^3 - 6a^2b - 9ab^2 \).

Ответ: \( -a(a + 3b)^2 = -a^3 - 6a^2b - 9ab^2 \).