Контрольные задания
Вопрос:

6. У исполнителя Альфа две команды, которым присвоены номера: 1. прибавь 4; 2. раздели на b (b — неизвестное натуральное число; b ≥ 2). Выполняя первую из них, Альфа увеличивает число на экране на 4, а выполняя вторую, делит это число на b. Программа для исполнителя Альфа — это последовательность номеров команд. Известно, что программа 12111 переводит число 48 в число 16. Определите значение b.

Фото заданияФото задания

Ответ:

Решение:

Программа 12111 означает последовательность команд: прибавь 4, раздели на b, прибавь 4, прибавь 4, раздели на b.

Начальное число: 48.

  1. Команда 1: Прибавь 4
    \( 48 + 4 = 52 \)
  2. Команда 2: Раздели на b
    \( 52 / b \)
  3. Команда 1: Прибавь 4
    \( (52 / b) + 4 \)
  4. Команда 1: Прибавь 4
    \( ((52 / b) + 4) + 4 = (52 / b) + 8 \)
  5. Команда 2: Раздели на b
    \( ((52 / b) + 8) / b = 16 \)

Теперь решим полученное уравнение:

\( \frac{\frac{52}{b} + 8}{b} = 16 \)

Умножим обе стороны на \( b \):

\( \frac{52}{b} + 8 = 16b \)

Умножим обе стороны на \( b \) (так как \( b \) — натуральное число, \( b \neq 0 \)):

\( 52 + 8b = 16b^2 \)

Перенесём все члены в одну сторону:

\( 16b^2 - 8b - 52 = 0 \)

Разделим все члены на 4 для упрощения:

\( 4b^2 - 2b - 13 = 0 \)

Это квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

\( D = (-2)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-13) = 4 + 16 \cdot 13 = 4 + 208 = 212 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{212} = \sqrt{4 \cdot 53} = 2\sqrt{53} \)

Корни уравнения:

\( b_1 = \frac{2 + 2\sqrt{53}}{8} = \frac{1 + \sqrt{53}}{4} \)

\( b_2 = \frac{2 - 2\sqrt{53}}{8} = \frac{1 - \sqrt{53}}{4} \)

Так как \( b \) — натуральное число \( \geq 2 \), и \( \sqrt{53} \) не является целым числом, это решение не подходит. Вернемся к уравнению \( 52 + 8b = 16b^2 \).

Проверим, если \( b = 2 \):

\( 52 + 8 \cdot 2 = 52 + 16 = 68 \)

\( 16 \cdot 2^2 = 16 \cdot 4 = 64 \)

\( 68 \neq 64 \)

Проверим, если \( b = 3 \):

\( 52 + 8 \cdot 3 = 52 + 24 = 76 \)

\( 16 \cdot 3^2 = 16 \cdot 9 = 144 \)

\( 76 \neq 144 \)

Проверим, если \( b = 4 \):

\( 52 + 8 \cdot 4 = 52 + 32 = 84 \)

\( 16 \cdot 4^2 = 16 \cdot 16 = 256 \)

\( 84 \neq 256 \)

Возможно, была ошибка в условии или записи программы. Попробуем проверить другую последовательность команд.

Давайте предположим, что программа 12111 означает 5 команд.

Изначально: 48

1. Прибавить 4: \( 48 + 4 = 52 \)

2. Разделить на b: \( 52 / b \)

3. Прибавить 4: \( (52 / b) + 4 \)

4. Прибавить 4: \( ((52 / b) + 4) + 4 = (52 / b) + 8 \)

5. Разделить на b: \( \frac{(52 / b) + 8}{b} = 16 \)

\( \frac{52}{b^2} + \frac{8}{b} = 16 \)

\( 52 + 8b = 16b^2 \)

\( 16b^2 - 8b - 52 = 0 \)

\( 4b^2 - 2b - 13 = 0 \)

Этот же результат. Перечитаем условие.

«Программа 12111 переводит число 48 в число 16».

Предположим, что \( b \) — такое натуральное число, что деление происходит без остатка.

Если \( b = 2 \):

  1. \( 48 + 4 = 52 \)
  2. \( 52 / 2 = 26 \)
  3. \( 26 + 4 = 30 \)
  4. \( 30 + 4 = 34 \)
  5. \( 34 / 2 = 17 \)

Результат 17, а должен быть 16. Значит \( b \neq 2 \).

Если \( b = 3 \):

  1. \( 48 + 4 = 52 \)
  2. \( 52 / 3 \) — не целое число. Значит \( b \neq 3 \).

    Если \( b = 4 \):

    1. \( 48 + 4 = 52 \)
    2. \( 52 / 4 = 13 \)
    3. \( 13 + 4 = 17 \)
    4. \( 17 + 4 = 21 \)
    5. \( 21 / 4 \) — не целое число. Значит \( b \neq 4 \).

      Если \( b = 26 \):

      1. \( 48 + 4 = 52 \)
      2. \( 52 / 26 = 2 \)
      3. \( 2 + 4 = 6 \)
      4. \( 6 + 4 = 10 \)
      5. \( 10 / 26 \) — не целое число.

      Есть ли другой способ интерпретировать программу 12111?

      Возможно, есть ошибка в записи чисел или в результате.

      Перечитаем условие: «Программа 12111 переводит число 48 в число 16».

      Если \( b \) - натуральное число.

      Попробуем подставить \( b=3 \) и посмотреть, что получится. Если \( b=3 \), то \( 48 \to 52 \to 52/3 \) (нецелое).

      Возможно, программа 12111 означает, что команды могут быть выполнены в другом порядке, но это противоречит условию.

      Давайте предположим, что \( b=2 \) и попытаемся найти ошибку в расчетах.

      \( 48 \xrightarrow{+4} 52 \xrightarrow{/b} \frac{52}{b} \xrightarrow{+4} \frac{52}{b} + 4 \xrightarrow{+4} \frac{52}{b} + 8 \xrightarrow{/b} \frac{\frac{52}{b} + 8}{b} = 16 \)

      \( \frac{52}{b^2} + \frac{8}{b} = 16 \)

      \( 52 + 8b = 16b^2 \)

      \( 16b^2 - 8b - 52 = 0 \)

      \( 4b^2 - 2b - 13 = 0 \)

      Здесь \( b = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(4)(-13)}}{8} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 208}}{8} = \frac{2 \pm \sqrt{212}}{8} \). Это не целые числа.

      Если предположить, что \( b = 3 \), тогда:

      \( 48 \to 52 \to 52/3 \to 52/3+4 \to 52/3+8 \to (52/3+8)/3 \). Это не 16.

      Если предположить, что \( b=4 \):

      \( 48 \to 52 \to 52/4=13 \to 13+4=17 \to 17+4=21 \to 21/4 \) (не целое).

      Пересмотрим первую команду. Если первое число 48. Программа 12111. \( b \geq 2 \).

      Попробуем подставить \( b=2 \) в обратном порядке.

      \( 16 \xrightarrow{*b} 16b \xrightarrow{-4} 16b-4 \xrightarrow{/b} \frac{16b-4}{b} \xrightarrow{-4} \frac{16b-4}{b} - 4 \xrightarrow{*b} \left( \frac{16b-4}{b} - 4 \right)b = 48 \)

      \( (16-4/b)b - 4b = 48 \)

      \( 16b - 4 - 4b = 48 \)

      \( 12b - 4 = 48 \)

      \( 12b = 52 \)

      \( b = 52 / 12 \) — не целое.

      Давайте предположим, что команда \( 1 \) — это \( +4 \) и команда \( 2 \) — это \( /b \).

      Программа 12111. Это 5 команд.

      \( 48 \xrightarrow{+4} 52 \xrightarrow{/b} \frac{52}{b} \xrightarrow{+4} \frac{52}{b} + 4 \xrightarrow{+4} \frac{52}{b} + 8 \xrightarrow{/b} \frac{\frac{52}{b} + 8}{b} = 16 \)

      \( \frac{52}{b^2} + \frac{8}{b} = 16 \)

      \( 52 + 8b = 16b^2 \)

      \( 16b^2 - 8b - 52 = 0 \)

      \( 4b^2 - 2b - 13 = 0 \)

      Здесь \( b \) должно быть натуральным. Это возможно, если условие или программа записаны неверно.

      Проверим, если \( b=3 \).

      \( 48 \to 52 \to 52/3 \) (не целое).

      Если \( b=2 \).

      \( 48 \to 52 \to 26 \to 30 \to 34 \to 17 \). Не 16.

      Если \( b=3 \) и результат 16.

      \( x \xrightarrow{+4} x+4 \xrightarrow{/3} \frac{x+4}{3} \xrightarrow{+4} \frac{x+4}{3} + 4 \xrightarrow{+4} \frac{x+4}{3} + 8 \xrightarrow{/3} \frac{\frac{x+4}{3} + 8}{3} = 16 \)

      \( \frac{x+4}{9} + \frac{8}{3} = 16 \)

      \( x+4 + 24 = 144 \)

      \( x+28=144 \)

      \( x = 116 \). Не 48.

      Что если программа 12111 означает: 1, 2, 1, 1, 1?

      \( 48 \xrightarrow{+4} 52 \xrightarrow{/b} \frac{52}{b} \xrightarrow{+4} \frac{52}{b}+4 \xrightarrow{+4} \frac{52}{b}+8 \xrightarrow{+4} \frac{52}{b}+12 \)

      \( \frac{52}{b}+12 = 16 \)

      \( \frac{52}{b} = 4 \)

      \( b = 52/4 = 13 \)

      Проверим \( b=13 \).

      1. \( 48 + 4 = 52 \)
      2. \( 52 / 13 = 4 \)
      3. \( 4 + 4 = 8 \)
      4. \( 8 + 4 = 12 \)
      5. \( 12 + 4 = 16 \)

      Это соответствует результату.

      Ответ: b = 13

📄 Все ответы📸 Решить моё задание