6. Triangle EBV is isosceles with EB = EV. The altitude EH is equal to 3. Angle EBV = 120 degrees. Find the length of BE.

Решение:

Треугольник EBV — равнобедренный с основанием EV. Высота EH делит основание пополам и угол EBV пополам.

Рассмотрим прямоугольный треугольник EHB:

• \( \angle EBH = \frac{1}{2} \angle EBV = \frac{1}{2} \cdot 120^{\circ} = 60^{\circ} \)
• \( EH = 3 \) (высота)
• В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему:
• \( \tan(\angle EBH) = \frac{EH}{BH} \)
• \( \tan(60^{\circ}) = \frac{3}{BH} \)
• \( \sqrt{3} = \frac{3}{BH} \)
• \( BH = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \)
• В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, также является медианой. Значит, \( BH = HV \).
• По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике EHB:
• \( BE^2 = EH^2 + BH^2 \)
• \( BE^2 = 3^2 + (\sqrt{3})^2 \)
• \( BE^2 = 9 + 3 \)
• \( BE^2 = 12 \)
• \( BE = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \)

Ответ: \( 2\sqrt{3} \)