6. Треугольник ABC — прямоугольный, с прямым углом B, угол A = 30°, BD — высота, CD = 7 см. Найдите длину отрезка AD.

Так как треугольник ABC прямоугольный, а BD — высота к гипотенузе AC, справедливо соотношение проекций: \(BD^2 = AD \cdot CD\).

В прямоугольном треугольнике с углом \(A=30^\circ\) катет, лежащий напротив угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы. Поэтому \(BC=\frac{AC}{2}\).

Проекция катета \(BC\) на гипотенузу равна \(CD=\frac{BC^2}{AC}\). Подставим \(BC=\frac{AC}{2}\):

\[CD=\frac{(AC/2)^2}{AC}=\frac{AC}{4}.\]

Следовательно, \(AC=4CD=4\cdot7=28\) см.

Тогда \(AD=AC-CD=28-7=21\) см.

Ответ: 21 см.