6. Решите уравнение: (343/64)^(2x-4) = (8 1/16)^(-2x)

Решение:

Чтобы решить данное уравнение, нужно привести обе части к одному основанию.

1. Перепишем уравнение: \( \left( \frac{343}{64} \right)^{2x-4} = \left( 8\frac{1}{16} \right)^{-2x} \).
2. Приведём дроби к одному основанию. Заметим, что \( 343 = 7^3 \) и \( 64 = 4^3 \), значит \( \frac{343}{64} = \left( \frac{7}{4} \right)^3 \).
3. Смешанное число \( 8\frac{1}{16} \) переведём в неправильную дробь: \( 8\frac{1}{16} = \frac{8 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{128 + 1}{16} = \frac{129}{16} \).
4. Теперь уравнение выглядит так: \( \left( \left( \frac{7}{4} \right)^3 \right)^{2x-4} = \left( \frac{129}{16} \right)^{-2x} \).
5. Упростим степени: \( \left( \frac{7}{4} \right)^{3(2x-4)} = \left( \frac{129}{16} \right)^{-2x} \), что даёт \( \left( \frac{7}{4} \right)^{6x-12} = \left( \frac{129}{16} \right)^{-2x} \).
6. Здесь возникла проблема: основания \( \frac{7}{4} \) и \( \frac{129}{16} \) не равны, и привести их к одному основанию не представляется возможным без дополнительных преобразований или проверки исходного условия. Предположим, что второе основание должно было быть \( \frac{4}{7} \) или \( \frac{49}{16} \) или \( \frac{7}{2} \) и т.д.
7. Перепроверим условие: Изображение нечёткое, возможно, второе основание является \( \frac{49}{16} \). Если это так, то \( \frac{49}{16} = \left( \frac{7}{4} \right)^2 \).
8. Предположим, что в правой части уравнения основание равно \( \left( \frac{7}{4} \right)^2 \). Тогда уравнение примет вид: \( \left( \frac{7}{4} \right)^{6x-12} = \left( \left( \frac{7}{4} \right)^2 \right)^{-2x} \).
9. Упрощаем: \( \left( \frac{7}{4} \right)^{6x-12} = \left( \frac{7}{4} \right)^{-4x} \).
10. Приравниваем показатели степеней, так как основания равны: \( 6x - 12 = -4x \).
11. Решаем линейное уравнение: \( 6x + 4x = 12 \) \( 10x = 12 \) \( x = \frac{12}{10} = \frac{6}{5} \).

Ответ: x = 6/5.