6. Решите уравнение: (343/64)^(2x-4) = (3 1/16)^(-2x)

Решение:

Для решения данного уравнения, сначала приведём обе части к общему основанию. Заметим, что \( \frac{343}{64} = \left(\frac{7}{4}\right)^3 \) и \( 3\frac{1}{16} = \frac{3 \times 16 + 1}{16} = \frac{49}{16} = \left(\frac{7}{4}\right)^2 \).

Теперь подставим это в исходное уравнение:

\[ \left(\left(\frac{7}{4}\right)^3\right)^{2x-4} = \left(\left(\frac{7}{4}\right)^2\right)^{-2x} \]

Используя свойство степени \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \), получаем:

\[ \left(\frac{7}{4}\right)^{3(2x-4)} = \left(\frac{7}{4}\right)^{2(-2x)} \]

Раскроем скобки в показателях степени:

\[ \left(\frac{7}{4}\right)^{6x-12} = \left(\frac{7}{4}\right)^{-4x} \]

Так как основания степеней равны, приравняем показатели степени:

\[ 6x - 12 = -4x \]

Решим полученное линейное уравнение:

\[ 6x + 4x = 12 \]

\[ 10x = 12 \]

\[ x = \frac{12}{10} \]

\[ x = \frac{6}{5} \]

Ответ: \( x = \frac{6}{5} \).