6. Решите неравенство $$\frac{(x+4)^2}{x^2-9} \le 0$$

Решение:

1. Разложим знаменатель на множители: \( x^2 - 9 = (x-3)(x+3) \).
2. Исходное неравенство примет вид: \[ \frac{(x+4)^2}{(x-3)(x+3)} \le 0 \]
3. Найдем корни числителя и знаменателя. Корень числителя: \( x+4 = 0 \Rightarrow x = -4 \). Корень знаменателя: \( x-3 = 0 \Rightarrow x = 3 \) и \( x+3 = 0 \Rightarrow x = -3 \).
4. Отметим эти точки на числовой прямой. Важно учесть, что \( x = -4 \) является корнем числителя, поэтому он включается в решение (знак \( \le \)), а корни знаменателя \( x = 3 \) и \( x = -3 \) не включаются (знак \( \le \) требует, чтобы знаменатель был не равен нулю).
5. Рассмотрим знаки выражений на интервалах:
   • При \( x < -4 \): числитель \( (x+4)^2 > 0 \), знаменатель \( (x-3)(x+3) > 0 \). Дробь \( > 0 \).
   • При \( -4 < x < -3 \): числитель \( (x+4)^2 > 0 \), знаменатель \( (x-3)(x+3) > 0 \). Дробь \( > 0 \).
   • При \( -3 < x < 3 \): числитель \( (x+4)^2 > 0 \), знаменатель \( (x-3)(x+3) < 0 \). Дробь \( < 0 \).
   • При \( x > 3 \): числитель \( (x+4)^2 > 0 \), знаменатель \( (x-3)(x+3) > 0 \). Дробь \( > 0 \).
6. Также нужно рассмотреть случай, когда числитель равен нулю, то есть \( x = -4 \). В этом случае дробь равна 0, что удовлетворяет условию \( \le 0 \).
7. Объединяя полученные интервалы и точку, где дробь равна нулю, получаем решение.

Ответ: \( x ∈ (-3; 3) \(\cup\) \{-4\}.