6. Решите неравенство $\frac{(x+4)^2}{x^2-9} \le 0$

Question

$Фото задания: 6. Решите неравенство $\frac{(x+4)^2}{x^2-9} \le 0$$ Фото задания

Accepted Answer

Найдем корни числителя и знаменателя. Числитель $ (x+4)^2 = 0 $ при $ x = -4 $. Знаменатель $ x^2 - 9 = 0 $ при $ x = \pm 3 $.
Отметим корни на числовой прямой: -4, -3, 3.
Определим знаки выражений в интервалах:
- При $ x < -4 $, например $ x = -5 $: $ \frac{(-5+4)^2}{(-5)^2-9} = \frac{1}{16} > 0 $.
- При $ -4 < x < -3 $, например $ x = -3.5 $: $ \frac{(-3.5+4)^2}{(-3.5)^2-9} = \frac{0.25}{12.25-9} = \frac{0.25}{3.25} > 0 $.
- При $ -3 < x < 3 $, например $ x = 0 $: $ \frac{(0+4)^2}{0^2-9} = \frac{16}{-9} < 0 $.
- При $ x > 3 $, например $ x = 4 $: $ \frac{(4+4)^2}{4^2-9} = \frac{64}{7} > 0 $.
Учитываем, что $ x = -4 $ является решением, так как неравенство нестрогое, а $ x = \pm 3 $ не являются решениями, так как на ноль делить нельзя.
Таким образом, решением неравенства является интервал $ (-3; 3) $.

Ответ: $ (-3; 3) $.

6. Решите неравенство \(\frac{(x+4)^2}{x^2-9} \le 0\)