6. Решите неравенство: б) *log₂² x - 3 log₂ x ≤ 4.

Решение:

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ): \( x > 0 \).
2. Сделаем замену переменной: пусть \( y = \log_2 x \). Тогда неравенство примет вид: \( y^2 - 3y \le 4 \).
3. Перенесём всё в одну часть: \( y^2 - 3y - 4 \le 0 \).
4. Найдём корни квадратного трёхчлена \( y^2 - 3y - 4 = 0 \): \( D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \). \( y_1 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{3+5}{2} = 4 \). \( y_2 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2} = \frac{3-5}{2} = -1 \).
5. Парабола \( z = y^2 - 3y - 4 \) ветвями вверх, поэтому \( y^2 - 3y - 4 \le 0 \) при \( -1 \le y \le 4 \).
6. Вернёмся к исходной переменной \( x \): \( -1 \le \log_2 x \le 4 \).
7. Разобьём на два неравенства: \( \log_2 x \ge -1 \) и \( \log_2 x \le 4 \).
8. Решим \( \log_2 x \ge -1 \). Так как основание логарифма \( 2 > 1 \), то \( x \ge 2^{-1} \), то есть \( x \ge 1/2 \).
9. Решим \( \log_2 x \le 4 \). Так как основание логарифма \( 2 > 1 \), то \( x \le 2^4 \), то есть \( x \le 16 \).
10. Объединим результаты: \( 1/2 \le x \le 16 \).
11. Учтём ОДЗ \( x > 0 \). Пересечение \( (1/2 \le x \le 16) \) и \( (x > 0) \) даёт \( 1/2 \le x \le 16 \).

Ответ: \( [0.5; 16] \).