6. Решите неравенство: a) log_1/2(x-3) + log_1/2(9-x) ≥ -3;

Решение:

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ): \( x-3 > 0 \) и \( 9-x > 0 \). Отсюда \( x > 3 \) и \( x < 9 \). Таким образом, \( 3 < x < 9 \).
2. Сумму логарифмов заменим логарифмом произведения: \( \log_{1/2}((x-3)(9-x)) \ge -3 \).
3. Перейдём от логарифмического неравенства к степенному. Поскольку основание логарифма \( 1/2 \) меньше 1, знак неравенства меняется: \( (x-3)(9-x) \le (1/2)^{-3} \).
4. Вычислим правую часть: \( (1/2)^{-3} = 2^3 = 8 \).
5. Раскроем скобки и приведём к квадратному неравенству: \( 9x - x^2 - 27 + 3x \le 8 \) \( -x^2 + 12x - 27 \le 8 \) \( -x^2 + 12x - 35 \le 0 \) \( x^2 - 12x + 35 \ge 0 \).
6. Найдём корни квадратного трёхчлена \( x^2 - 12x + 35 = 0 \) с помощью дискриминанта: \( D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 35 = 144 - 140 = 4 \). \( x_1 = \frac{12 + \sqrt{4}}{2} = \frac{12 + 2}{2} = 7 \). \( x_2 = \frac{12 - \sqrt{4}}{2} = \frac{12 - 2}{2} = 5 \).
7. Парабола \( y = x^2 - 12x + 35 \) ветвями вверх, поэтому \( x^2 - 12x + 35 \ge 0 \) при \( x \le 5 \) или \( x \ge 7 \).
8. Учтём ОДЗ \( 3 < x < 9 \). Пересечение \( (x \le 5 \text{ или } x \ge 7) \) и \( (3 < x < 9) \) даёт: \( (3 < x \le 5) \) и \( (7 \le x < 9) \).

Ответ: \( (3; 5] \cup [7; 9) \).