6. Решите неравенство: a) log_1/2(x-3) + log_1/2(9-x) >= -3;

Решение:

1. ОДЗ: \( x-3 > 0 \) и \( 9-x > 0 \) \(\implies\) \( x > 3 \) и \( x < 9 \) \(\implies\) \( 3 < x < 9 \).
2. Сложим логарифмы: \( \log_{1/2}((x-3)(9-x)) \ge -3 \).
3. Применим свойство логарифма: \( \log_{1/2}(-x^2 + 12x - 27) \ge -3 \).
4. Так как основание логарифма \( 1/2 < 1 \), при потенцировании знак неравенства меняется на противоположный: \( -x^2 + 12x - 27 \le (1/2)^{-3} \).
5. Вычислим правую часть: \( (1/2)^{-3} = 2^3 = 8 \).
6. Получаем неравенство: \( -x^2 + 12x - 27 \le 8 \).
7. Перенесём всё в одну сторону: \( -x^2 + 12x - 27 - 8 \le 0 \) \(\implies\) \( -x^2 + 12x - 35 \le 0 \).
8. Умножим на -1, меняя знак неравенства: \( x^2 - 12x + 35 \ge 0 \).
9. Найдём корни квадратного трёхчлена \( x^2 - 12x + 35 = 0 \) с помощью дискриминанта: \( D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 35 = 144 - 140 = 4 \). \( \sqrt{D} = 2 \).
10. Корни: \( x_1 = \frac{12 - 2}{2} = 5 \), \( x_2 = \frac{12 + 2}{2} = 7 \).
11. Парабола \( y = x^2 - 12x + 35 \) ветвями вверх, поэтому \( x^2 - 12x + 35 \ge 0 \) при \( x \le 5 \) или \( x \ge 7 \).
12. Учтём ОДЗ \( 3 < x < 9 \).
13. Пересечение \( (x \le 5 \text{ или } x \ge 7) \) и \( (3 < x < 9) \) даёт: \( 3 < x \le 5 \) и \( 7 \le x < 9 \).

Ответ: \( (3; 5] \cup [7; 9) \).