6. Прямые MA и MB касаются в точках А и В окружности с центром О. Найдите ∠OAB, если ∠AMB = 56°.

Задание 6

Дано:

• Окружность с центром O.
• MA и MB — касательные к окружности в точках A и B соответственно.
• \( ∠AMB = 56^\circ \).

Найти: \( ∠OAB \).

Решение:

1. Свойства касательных:
• Радиусы, проведенные к точкам касания, перпендикулярны касательным. Следовательно, \( OA ⊥ MA \) и \( OB ⊥ MB \).
• \( ∠OAM = 90^\circ \) и \( ∠OBM = 90^\circ \).
2. Свойства равнобедренного треугольника:
• Треугольник \( △OAB \) является равнобедренным, так как \( OA = OB \) (радиусы окружности).
• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: \( ∠OAB = ∠OBA \).
3. Сумма углов в четырехугольнике:
• Рассмотрим четырехугольник \( OAMB \). Сумма его углов равна \( 360^\circ \).
• \( ∠AOB + ∠OAM + ∠AMB + ∠OBM = 360^\circ \)
• \( ∠AOB + 90^\circ + 56^\circ + 90^\circ = 360^\circ \)
• \( ∠AOB + 236^\circ = 360^\circ \)
• \( ∠AOB = 360^\circ - 236^\circ = 124^\circ \)
4. Сумма углов в треугольнике:
• Теперь рассмотрим равнобедренный треугольник \( △OAB \). Сумма его углов равна \( 180^\circ \).
• \( ∠AOB + ∠OAB + ∠OBA = 180^\circ \)
• \( 124^\circ + ∠OAB + ∠OAB = 180^\circ \) (так как \( ∠OAB = ∠OBA \))
• \( 124^\circ + 2∠OAB = 180^\circ \)
• \( 2∠OAB = 180^\circ - 124^\circ \)
• \( 2∠OAB = 56^\circ \)
• \( ∠OAB = \frac{56^\circ}{2} = 28^\circ \)

Ответ: 28°.