6) Прямая 3x + 2y = c, где c — некоторое число, касается гиперболы y = 6/x в точке. Найдите c.

Решение:

Чтобы прямая \( 3x + 2y = c \) касалась гиперболы \( y = \frac{6}{x} \), они должны иметь одну общую точку. Подставим выражение для \( y \) из уравнения гиперболы в уравнение прямой:

\[ 3x + 2\left(\frac{6}{x}\right) = c \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ 3x + \frac{12}{x} = c \]

\[ \frac{3x^2 + 12}{x} = c \]

\[ 3x^2 + 12 = cx \]

\[ 3x^2 - cx + 12 = 0 \]

Это квадратное уравнение. Для того чтобы прямая касалась гиперболы, это уравнение должно иметь ровно один корень. Это произойдёт, когда дискриминант \( D \) равен нулю.

Дискриминант квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) вычисляется по формуле \( D = b^2 - 4ac \). В нашем случае \( a=3 \), \( b=-c \), \( c=12 \).

\[ D = (-c)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 12 \]

\[ D = c^2 - 144 \]

Приравняем дискриминант к нулю:

\[ c^2 - 144 = 0 \]

\[ c^2 = 144 \]

Отсюда получаем два возможных значения для \( c \):

\[ c = \sqrt{144} \quad \text{или} \quad c = -\sqrt{144} \]

\[ c = 12 \quad \text{или} \quad c = -12 \]

Чтобы найти точку касания, подставим \( c = 12 \) в квадратное уравнение:

\[ 3x^2 - 12x + 12 = 0 \]

\[ x^2 - 4x + 4 = 0 \]

\[ (x-2)^2 = 0 \]

\[ x = 2 \]

Теперь найдём \( y \) для \( c = 12 \):

\[ y = \frac{6}{x} = \frac{6}{2} = 3 \]

Точка касания: (2, 3). Проверим, лежит ли эта точка на прямой \( 3x + 2y = 12 \): \( 3(2) + 2(3) = 6 + 6 = 12 \). Верно.

Теперь подставим \( c = -12 \) в квадратное уравнение:

\[ 3x^2 - (-12)x + 12 = 0 \]

\[ 3x^2 + 12x + 12 = 0 \]

\[ x^2 + 4x + 4 = 0 \]

\[ (x+2)^2 = 0 \]

\[ x = -2 \]

Теперь найдём \( y \) для \( c = -12 \):

\[ y = \frac{6}{x} = \frac{6}{-2} = -3 \]

Точка касания: (-2, -3). Проверим, лежит ли эта точка на прямой \( 3x + 2y = -12 \): \( 3(-2) + 2(-3) = -6 - 6 = -12 \). Верно.

В задании не указано, какая именно гипербола, поэтому оба значения \( c \) являются решением.

Ответ: \( c = 12 \) или \( c = -12 \).