6. Первый насос наполнил водой бассейн объёмом 360 м³, а второй — объёмом 480 м³. Первый насос перекачивал на 10 м³ воды в час меньше, чем второй, и работал на 2 ч больше второго. Какой объём воды перекачивал за 1 ч каждый насос?

Решение:

Пусть \( x \) м³/ч — производительность второго насоса, тогда \( x-10 \) м³/ч — производительность первого насоса.

Пусть \( t \) ч — время работы второго насоса, тогда \( t+2 \) ч — время работы первого насоса.

Составим систему уравнений:

1. Объём первого насоса: \( (x-10)(t+2) = 360 \)
2. Объём второго насоса: \( xt = 480 \)

Из второго уравнения выразим \( t \): \( t = \frac{480}{x} \).

Подставим это в первое уравнение:

\[ (x-10)\left(\frac{480}{x}+2\right) = 360 \]

Раскроем скобки:

\( x \cdot \frac{480}{x} + 2x - 10 \cdot \frac{480}{x} - 10 \cdot 2 = 360 \)

\( 480 + 2x - \frac{4800}{x} - 20 = 360 \)

\( 460 + 2x - \frac{4800}{x} = 360 \)

\( 2x - \frac{4800}{x} = 360 - 460 \)

\( 2x - \frac{4800}{x} = -100 \)

Умножим обе части на \( x \) (при \( x \neq 0 \)):

\( 2x^2 - 4800 = -100x \)

\( 2x^2 + 100x - 4800 = 0 \)

Разделим на 2:

\( x^2 + 50x - 2400 = 0 \)

Найдем дискриминант:

\[ D = 50^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2400) = 2500 + 9600 = 12100 \]

\( \sqrt{D} = \sqrt{12100} = 110 \)

Найдем \( x \):

\[ x = \frac{-50 \pm 110}{2} \]

\( x_1 = \frac{-50 + 110}{2} = \frac{60}{2} = 30 \)

\( x_2 = \frac{-50 - 110}{2} = \frac{-160}{2} = -80 \)

Так как производительность не может быть отрицательной, \( x = 30 \) м³/ч (производительность второго насоса).

Производительность первого насоса: \( x-10 = 30-10 = 20 \) м³/ч.

Проверим время работы:

Время работы второго насоса: \( t = \frac{480}{30} = 16 \) ч.

Время работы первого насоса: \( 16 + 2 = 18 \) ч.

Объём первого насоса: \( 20 \cdot 18 = 360 \) м³.

Объём второго насоса: \( 30 \cdot 16 = 480 \) м³.

Всё верно.

Ответ: Первый насос перекачивал 20 м³/ч, второй насос — 30 м³/ч.