6. Осевым сечением цилиндра является квадрат, диагональ которого равна 8√2 см. Найти объем цилиндра.

Решение:

1. Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, который получается при сечении цилиндра плоскостью, проходящей через его ось. В данном случае это квадрат.
2. Диагональ квадрата связана со стороной \( a \) соотношением \( d = a\sqrt{2} \).
   Нам дана диагональ \( d = 8\sqrt{2} \) см.
3. Найдем сторону квадрата (которая равна высоте цилиндра \( h \) и диаметру основания \( D \)):
   \( 8\sqrt{2} = a\sqrt{2} \)
   \( a = 8 \) см.
4. Итак, высота цилиндра \( h = 8 \) см, а диаметр основания \( D = 8 \) см.
5. Найдем радиус основания: \( r = \frac{D}{2} = \frac{8}{2} = 4 \) см.
6. Вычислим объем цилиндра по формуле \( V = \pi r^2 h \):
   \( V = \pi \cdot (4 \text{ см})^2 \cdot 8 \text{ см} \)
   \( V = \pi \cdot 16 \text{ см}^2 \cdot 8 \text{ см} \)
   \( V = 128 \pi \text{ см}^3 \)

Ответ: 128π см³.