6. Окружность с центром в точке О вписана в треугольник DEC. H, M, N – точки касания. МС = 8 см, DE = 28 см. Найдите периметр треугольника DEC. Запишите решение и сделайте рисунок.

Решение:

Вписанная окружность касается сторон треугольника в точках H, M, N. Свойства касательных, проведенных из одной точки к окружности, гласят:

• Отрезки касательных от вершины до точек касания равны.
• Из вершины C касательные CM и CN равны: \( CM = CN = 8 \) см.
• Из вершины E касательные EH и EM равны: \( EH = EM \).
• Из вершины D касательные DH и DN равны: \( DH = DN \).

Дано: \( MC = 8 \) см, \( DE = 28 \) см.

Сторона DE состоит из отрезков DH и HE: \( DE = DH + HE \).

Сторона EC состоит из отрезков EM и MC: \( EC = EM + MC \).

Сторона CD состоит из отрезков CN и ND: \( CD = CN + ND \).

Так как \( CM = CN = 8 \) см, то \( EC = EM + 8 \) см и \( CD = 8 + DN \) см.

Поскольку \( EH = EM \) и \( DH = DN \), мы можем записать:

Периметр треугольника DEC: \( P_{DEC} = DE + EC + CD \)

Подставим известные значения и обозначения:

\( P_{DEC} = 28 + (EM + 8) + (8 + DN) \)

\( P_{DEC} = 28 + EM + 8 + 8 + DN \)

\( P_{DEC} = 28 + 16 + (EM + DN) \)

\( P_{DEC} = 44 + (EM + DN) \)

Мы знаем, что \( DE = DH + HE = DN + EM = 28 \) см.

Подставим \( EM + DN = 28 \) в формулу периметра:

\( P_{DEC} = 44 + 28 \)

\( P_{DEC} = 72 \) см.

Рисунок:

Итог:

Ответ: Периметр треугольника DEC равен 72 см.