6) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [5π; 6π].

Решение:

Нам нужно найти корни из полученных серий \( x = \frac{\pi}{4} + \pi k \) и \( x = -\frac{\pi}{2} + \pi k \), которые попадают в промежуток \( [5\pi; 6\pi] \).

Рассмотрим первую серию: \( x = \frac{\pi}{4} + \pi k \)

1. Подставим \( k = 5 \): \( x = \frac{\pi}{4} + 5\pi = \frac{\pi + 20\pi}{4} = \frac{21\pi}{4} \). Это значение меньше \( 5\pi \), так как \( \frac{21}{4} = 5.25 \) и \( 5.25\pi > 5\pi \).
2. Подставим \( k = 6 \): \( x = \frac{\pi}{4} + 6\pi = \frac{\pi + 24\pi}{4} = \frac{25\pi}{4} \). Так как \( \frac{25}{4} = 6.25 \), это значение больше \( 6\pi \), поэтому оно не входит в промежуток.

Рассмотрим вторую серию: \( x = -\frac{\pi}{2} + \pi k \)

1. Подставим \( k = 6 \): \( x = -\frac{\pi}{2} + 6\pi = \frac{-\pi + 12\pi}{2} = \frac{11\pi}{2} \). Это значение попадает в промежуток, так как \( \frac{11}{2} = 5.5 \) и \( 5\pi \le 5.5\pi \le 6\pi \).
2. Подставим \( k = 7 \): \( x = -\frac{\pi}{2} + 7\pi = \frac{-\pi + 14\pi}{2} = \frac{13\pi}{2} \). Это значение больше \( 6\pi \), так как \( \frac{13}{2} = 6.5 \).

Таким образом, корни, принадлежащие промежутку \( [5\pi; 6\pi] \), это \( \frac{21\pi}{4} \) и \( \frac{11\pi}{2} \).

Ответ: \( \frac{21\pi}{4}, \frac{11\pi}{2} \).