6. Найдите вероятность наступления ровно 5 успехов в 9 испытаниях Бернулли с вероятностью успеха р=0,5. 1)≈0,4657 2)≈0,2578 3))≈0,6874 4)≈0,3546

Решение:

Это задача на биномиальное распределение. Вероятность наступления ровно \( k \) успехов в \( n \) независимых испытаниях Бернулли с вероятностью успеха \( p \) вычисляется по формуле:

\[ P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]

Где \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) — число сочетаний.

В нашем случае:

• \( n = 9 \) (число испытаний)
• \( k = 5 \) (число успехов)
• \( p = 0,5 \) (вероятность успеха)
• \( 1-p = 0,5 \) (вероятность неудачи)

Сначала найдем число сочетаний \( C_9^5 \):

\[ C_9^5 = C_9^{9-5} = C_9^4 = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 9 \times 2 \times 7 = 126 \]

Теперь подставим все в формулу Бернулли:

\[ P(X=5) = 126 \cdot (0,5)^5 \cdot (0,5)^{9-5} = 126 \cdot (0,5)^5 \cdot (0,5)^4 = 126 \cdot (0,5)^9 \]

\[ (0,5)^9 = \frac{1}{2^9} = \frac{1}{512} \]

\[ P(X=5) = 126 \cdot \frac{1}{512} = \frac{126}{512} \]

Разделим числитель и знаменатель на 2:

\[ P(X=5) = \frac{63}{256} \]

Приблизительное десятичное значение:

\[ \frac{63}{256} \approx 0.24609375 \]

Среди предложенных вариантов, ближайшее значение — 0,2578. Возможно, в условии или вариантах ответа есть небольшая погрешность, или использовались другие приближения.

Проверим расчеты.

\( 126 / 512 \) действительно примерно \( 0.246 \).

Пересчитаем \( C_9^5 \): \( (9 \times 8 \times 7 \times 6) / (4 \times 3 \times 2 \times 1) = 3024 / 24 = 126 \). Верно.

\( 0.5^9 = 1/512 \). Верно.

\( 126/512 \approx 0.246 \).

Если предположить, что \( p \) немного отличается, или \( n, k \) другие, но с учетом предоставленных вариантов, наиболее близким является 0,2578.

Давайте перепроверим варианты. Возможно, я ошибся в ручном расчете.

\( 0.2578 \) в дроби это \( 0.2578 \times 512 \approx 132 \).

\( C_9^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \). Если \( k=5, p=0.5 \), то \( C_9^5 \times 0.5^9 \).

\( C_9^5 = 126 \). \( 126 \times (0.5)^9 \approx 0.246 \).

Пересчитаем варианты:

1) 0.4657

2) 0.2578

3) 0.6874

4) 0.3546

Ни один из вариантов точно не совпадает с \( 0.246 \).

Возможно, в задании опечатка и \( n \) или \( k \) другие?

Если \( n=9, k=4 \), то \( C_9^4=126 \). Результат тот же.

Если \( n=10, k=5, p=0.5 \): \( C_{10}^5 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 2 \times 9 \times 2 \times 7 = 252 \). \( 252 \times (0.5)^{10} = 252 / 1024 \approx 0.246 \).

Если \( n=8, k=4, p=0.5 \): \( C_8^4 = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70 \). \( 70 \times (0.5)^8 = 70 / 256 \approx 0.273 \).

Если \( n=9, k=5 \) и \( p \) отличается от 0.5.

Давайте проверим вариант 2) 0.2578. Если \( P(X=5) = 0.2578 \), то \( 126 \times p^5 \times (1-p)^4 = 0.2578 \). Это уравнение сложно решить вручную.

Предположим, что в задании правильный ответ — 0,2578, и попробуем понять, почему.

Возможно, \( p \) — это не 0.5.

Если \( p = 0.6 \), \( 1-p = 0.4 \): \( 126 \times (0.6)^5 \times (0.4)^4 = 126 \times 0.07776 \times 0.0256 \approx 0.2507 \).

Если \( p = 0.7 \), \( 1-p = 0.3 \): \( 126 \times (0.7)^5 \times (0.3)^4 = 126 \times 0.16807 \times 0.0081 \approx 0.1700 \).

Ближе всего к 0,2578 при \( p=0.6 \).

Однако, условие задачи четко гласит: \( p=0.5 \).

Давайте еще раз проверим, может я ошибся в третьем варианте, \( \approx 0.6874 \).

Если \( n=9, k=6, p=0.5 \): \( C_9^6 = C_9^3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84 \). \( 84 \times (0.5)^9 = 84 / 512 \approx 0.164 \).

Если \( n=9, k=4, p=0.5 \), то \( P(X=4) = C_9^4 \times (0.5)^9 = 126 / 512 \approx 0.246 \).

Наибольшая вероятность при \( n=9, p=0.5 \) будет при \( k = \lfloor np \rfloor = \lfloor 9 \times 0.5 \rfloor = 4 \) или \( k = \lceil np \rceil = \lceil 4.5 \rceil = 5 \).

Значение \( 0.2578 \) очень близко к \( 0.2507 \) (при \( p=0.6 \)).

Учитывая, что \( p=0.5 \), то \( P(X=5) = P(X=4) = 126/512 \approx 0.246 \).

Наиболее близкий ответ к 0.246 — это 0.2578. Возможно, там есть опечатка, и правильный ответ должен быть ближе к 0.246.

Проверим расчет для первого варианта: \( \approx 0.4657 \).

Проверим для четвертого варианта: \( \approx 0.3546 \).

Есть вероятность, что в задаче опечатка, и \( p \) не 0.5. Или \( k \) другое.

Если \( n=9 \), \( k=5 \), \( p=0.5 \), то \( P(X=5) = 0.24609375 \).

Если \( n=9 \), \( k=4 \), \( p=0.5 \), то \( P(X=4) = 0.24609375 \).

Если \( n=9 \), \( k=3 \), \( p=0.5 \): \( C_9^3 = 84 \). \( 84/512 \approx 0.164 \).

Если \( n=9 \), \( k=6 \), \( p=0.5 \): \( C_9^6 = 84 \). \( 84/512 \approx 0.164 \).

В задаче, вероятнее всего, опечатка. Но если выбирать из предложенных вариантов, то 0.2578 является наиболее близким к правильному расчету \( \frac{63}{256} \approx 0.246 \).

Однако, если посмотреть внимательно, то \( 0.2578 \) очень близко к \( \frac{132}{512} \).

\( \frac{132}{512} = \frac{33}{128} \approx 0.2578125 \).

\( C_n^k = 132 \). Такого числа сочетаний \( C_9^k \) не бывает. \( C_9^5 = 126 \).

Возможно, \( n \) или \( k \) другие.

Если \( n=10, k=5 \): \( C_{10}^5 = 252 \). \( 252/1024 = 0.246 \).

Если \( n=8, k=4 \): \( C_8^4 = 70 \). \( 70/256 \approx 0.273 \).

Если \( n=7, k=3 \): \( C_7^3 = 35 \). \( 35/128 \approx 0.273 \).

В этом случае, правильный ответ — 2) ≈0,2578, как самый близкий к результату \( \frac{63}{256} \approx 0.246 \) (с учетом возможной погрешности в вариантах ответа).

Ответ: 2) ≈0,2578