6. Найди корень уравнения log (7 – x) = -2.

Решение:

Чтобы найти корень уравнения \( \log_3 (7 - x) = -2 \), вспомним определение логарифма: \( \log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b \).

1. Применим определение логарифма к нашему уравнению: \( 3^{-2} = 7 - x \).
2. Вычислим \( 3^{-2} \): \( 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} \).
3. Теперь уравнение выглядит так: \( \frac{1}{9} = 7 - x \).
4. Выразим \( x \): \( x = 7 - \frac{1}{9} \).
5. Приведём к общему знаменателю: \( x = \frac{7 \cdot 9}{9} - \frac{1}{9} = \frac{63}{9} - \frac{1}{9} = \frac{62}{9} \).
6. Проверим условие существования логарифма: \( 7 - x > 0 \). \( 7 - \frac{62}{9} = \frac{63}{9} - \frac{62}{9} = \frac{1}{9} > 0 \). Условие выполняется.

Ответ: \( \frac{62}{9} \)