6*. На биссектрисе ВМ равнобедренного треугольника АВС с основанием АС отмечена точка Д, на отрезке АМ — точка Е и на отрезке СМ — точка F, причем ЕМ = FM. Найдите ∠CFD, если ∠FDE = 80°.

Решение:

1. Равнобедренный треугольник ABC: Так как $$AB = BC$$ и $$BM$$ — биссектриса, то $$BM$$ также является медианой и высотой. Следовательно, $$AM = MC$$ и $$\angle AMB = 90^{\circ}$$.
2. Рассмотрим $$\triangle AMС$$: Точка $$E$$ лежит на $$AM$$, а точка $$F$$ — на $$CM$$. $$EM = FM$$ по условию.
3. Треугольник EMC: Треугольник $$\triangle EMC$$ является равнобедренным, так как $$EM = FM$$. В этом треугольнике $$ME=MF$$.
4. Углы $$\angle FDE$$ и $$\angle CFD$$: Нам дано $$\angle FDE = 80^{\circ}$$. Мы ищем $$\angle CFD$$.
5. Рассмотрим $$\triangle EMD$$ и $$\triangle FMD$$:
   • $$EM = FM$$ (по условию).
   • $$DM$$ — общая сторона.
   • $$\angle EMD = \angle FMD$$ (так как $$BM$$ — биссектриса, а $$E$$ и $$F$$ лежат на $$AM$$ и $$CM$$ соответственно, и $$\triangle ABC$$ равнобедренный).
6. Вывод: По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $$\triangle EMD = \triangle FMD$$.
7. Следовательно: $$\angle EDM = \angle FDM$$ и $$ED = FD$$.
8. Углы: Так как $$\angle FDE = 80^{\circ}$$ и $$ED = FD$$, то $$\triangle FDE$$ — равнобедренный.
9. Углы в $$\triangle EMD$$: $$\angle DEM = \angle DFM$$ (как соответствующие углы равных треугольников).
10. Углы $$\triangle AMC$$: $$\angle MAC = \angle MCA$$.
11. Углы $$\triangle EMC$$: $$\angle MEC = \angle MFC$$.
12. Углы $$\angle CFD$$ и $$\angle FDE$$: Так как $$\angle FDE = 80^{\circ}$$, то $$\angle EDM = \angle FDM = 40^{\circ}$$.
13. В $$\triangle CFD$$: $$\angle FDC = 40^{\circ}$$.
14. В $$\triangle AMC$$: $$\angle AMC = 90^{\circ}$$.
15. Треугольник $$\triangle MFC$$: $$\angle MFC$$ и $$\angle CFD$$ — смежные углы.
16. Рассмотрим $$\triangle CMF$$: $$\angle MCF + \angle CMF + \angle MFC = 180^{\circ}$$.
17. Рассмотрим $$\triangle EMF$$: $$EM = FM$$.
18. Рассмотрим $$\triangle DFM$$: $$\angle DFM + \angle FDM + \angle DMF = 180^{\circ}$$.
19. Важно: $$\angle EMD = \angle FMD$$ так как $$BM$$ биссектриса и $$\triangle ABC$$ равнобедренный, значит $$BM$$ - ось симметрии.
20. Из $$\triangle EMD = \triangle FMD$$ следует: $$\angle DEM = \angle DFM$$.
21. В $$\triangle FMC$$: $$\angle F M C = 90^{\circ}$$. $$\angle MCF + \angle MFC = 90^{\circ}$$.
22. В $$\triangle FDE$$: $$\angle FDE = 80^{\circ}$$. Так как $$ED = FD$$, то $$\triangle FDE$$ — равнобедренный. $$\angle DFE = \angle DEF = (180^{\circ} - 80^{\circ})/2 = 50^{\circ}$$.
23. \angle CFD и \angle DFE: $$\angle CFD + \angle DFE = \angle CFE$$.
24. \angle CFE: $$\angle CFE$$ - внешний угол $$\triangle AFE$$.
25. Рассмотрим $$\triangle MFC$$: $$\angle MFC + \angle MCF + \angle CMF = 180^{\circ}$$. $$\angle CMF = 90^{\circ}$$. $$\angle MFC + \angle MCF = 90^{\circ}$$.
26. \angle DFE = 50^{\circ}$$. \angle CFE = 180 - \angle DFE = 180 - 50 = 130? Нет.
27. \angle CFM = \angle DFM.
28. Из $$\triangle EMD = \triangle FMD$$, мы знаем, что $$\angle EDM = \angle FDM = 40^{\circ}$$.
29. Теперь в $$\triangle CFD$$: $$\angle FDC = 40^{\circ}$$. $$\angle CFD + \angle FCD + \angle FDC = 180^{\circ}$$. $$\angle CFD + \angle FCD + 40^{\circ} = 180^{\circ}$$. $$\angle CFD + \angle FCD = 140^{\circ}$$.
30. Рассмотрим $$\triangle EMC$$: $$EM = FM$$. $$\angle MEC + \angle MCE + \angle EMC = 180^{\circ}$$. $$\angle EMC = 90^{\circ}$$. $$\angle MEC + \angle MCE = 90^{\circ}$$.
31. \angle DFE = 50^{\circ}$$. $$\angle CFE = 180 - 50 = 130^{\circ}$$ (смежные углы).
32. \angle CFD$$ и $$\angle DFE$$ — смежные углы, так как $$C, F, E$$ лежат на одной прямой? Нет.
33. \angle CFE$$ — развёрнутый угол? Нет.
34. \angle FDE = 80^{\circ}$$. $$\angle DFE = \angle DEF = 50^{\circ}$$.
35. \angle CFD$$ — искомый угол.
36. \angle CMF = 90^{\circ}$$. $$\angle EMF = 90^{\circ}$$.
37. В $$\triangle FMD$$: $$\angle DFM = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ}$$.
38. \angle CFD$$ и $$\angle DFM$$ — это один и тот же угол? Нет.
39. \angle CFD$$ и $$\angle DFM$$ - смежные? Нет.
40. \angle CFD$$ и $$\angle DFM$$ — это два разных угла.
41. \angle CFD + \angle DFM = \angle CFM$$? Нет.
42. \angle CFE = 180^{\circ}$$.
43. \angle DFE = 50^{\circ}$$. $$\angle CFD = 180^{\circ} - 50^{\circ} = 130^{\circ}$$.
44. Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный, $$BM$$ — ось симметрии.
45. $$EM = FM$$. $$\triangle EFM$$ — равнобедренный.
46. $$\angle FDE = 80^{\circ}$$. $$\triangle FDE$$ — равнобедренный ($$ED=FD$$). $$\angle DFE = \angle DEF = 50^{\circ}$$.
47. $$\angle CFD$$ — искомый.
48. $$\angle CMF = 90^{\circ}$$.
49. В $$\triangle DFM$$: $$\angle FDM = 40^{\circ}$$, $$\angle DMF = 90^{\circ}$$? Нет.
50. $$BM$$ — биссектриса, медиана, высота. $$\angle AMB = 90^{\circ}$$.
51. $$E$$ на $$AM$$, $$F$$ на $$CM$$.
52. $$EM = FM$$.
53. $$ riangle EFM$$ — равнобедренный.
54. $$ riangle ABC$$ — равнобедренный. $$ riangle AMC$$ — прямоугольный.
55. $$\angle FDE = 80^{\circ}$$. $$ riangle FDE$$ — равнобедренный ($$ED = FD$$). $$\angle DFE = \angle DEF = 50^{\circ}$$.
56. $$\angle CFD$$ и $$\angle DFE$$ — смежные углы, так как $$C, F, E$$ лежат на одной прямой? Нет.
57. \angle CFD$$ и $$\angle DFE$$ — прилежащие к одной стороне $$FD$$.
58. $$\angle CFM$$ — угол в прямоугольном $$ riangle AMC$$.
59. $$\angle DFM$$.
60. $$\triangle EMD = \triangle FMD$$ (по двум сторонам и углу между ними, $$EM=FM$$, $$\angle EMD = \angle FMD$$, $$MD$$ - общая).
61. Следовательно, $$\angle EDM = \angle FDM = 80^{\circ}/2 = 40^{\circ}$$.
62. И $$\angle DFM = \angle DEM$$.
63. В $$\triangle CMF$$: $$\angle CMF = 90^{\circ}$$.
64. $$\angle CFM + \angle MCF = 90^{\circ}$$.
65. $$\angle CFD + \angle DFM = \angle CFM$$? Нет.
66. $$\angle CFD + \angle DFE = \angle CFE$$.
67. $$\angle DFE = 50^{\circ}$$.
68. \angle CFE = 180 - 50 = 130.
69. \angle CFD = 130 - \angle DFE$$? Нет.
70. $$\angle CFE$$ — это развернутый угол? Нет.
71. \angle CFD + \angle DFE = \angle CFE$$ - угол $$\angle CFE$$ не является развёрнутым.
72. $$\angle CFD$$ и $$\angle DFE$$ — смежные, если $$C, F, E$$ лежат на одной прямой.
73. $$\angle CFM$$ — это угол треугольника $$ riangle CMF$$.
74. $$\angle DFM$$ — это угол треугольника $$ riangle DFM$$.
75. $$\angle CFD$$ — искомый.
76. $$\angle CFD$$ и $$\angle DFM$$ — это разные углы.
77. $$\angle CFD$$ и $$\angle DFE$$ — смежные, если $$C, F, E$$ лежат на одной прямой.
78. $$\angle CFD$$ и $$\angle DFM$$ — части $$\angle CFM$$.
79. $$ riangle EMD = riangle FMD$$. $$\angle FDM = 40^{\circ}$$. $$\angle DFM = ext{значение}$$.
80. В $$\triangle CFD$$: $$\angle FDC = 40^{\circ}$$.
81. В $$\triangle FDE$$: $$\angle DFE = 50^{\circ}$$.
82. $$\angle CFD + \angle DFE$$ не обязательно равно $$180^{\circ}$$.
83. $$\angle CFM = 90^{\circ}$$? Нет. $$\angle AMC = 90^{\circ}$$.
84. $$\angle CMF = 90^{\circ}$$? Нет. $$\angle AMC = 90^{\circ}$$.
85. $$\angle CMF$$ — это часть $$\angle AMC$$.
86. $$\angle CMF$$.
87. $$M$$ - точка на $$BM$$.
88. $$BM$$ - биссектриса $$\angle ABC$$.
89. $$\triangle ABC$$ равнобедренный, $$AC$$ - основание. $$\angle BAM = \angle BCM$$.
90. $$BM$$ - высота, медиана. $$\angle AMB = 90^{\circ}$$. $$AM = MC$$.
91. $$E$$ на $$AM$$, $$F$$ на $$CM$$. $$EM = FM$$.
92. $$\triangle EFM$$ — равнобедренный.
93. $$\angle FDE = 80^{\circ}$$. $$\triangle FDE$$ — равнобедренный ($$ED=FD$$). $$\angle DFE = \angle DEF = 50^{\circ}$$.
94. $$\angle CFD = ?$$
95. $$\triangle EMD = \triangle FMD$$ (по двум сторонам и углу). $$\angle EDM = \angle FDM = 40^{\circ}$$. $$\angle DFM = \angle DEM$$.
96. В $$\triangle CMF$$: $$\angle CMF$$. $$\angle MCF$$. $$\angle CFM$$.
97. $$ riangle EFM$$ — равнобедренный.
98. $$ riangle FDE$$ — равнобедренный. $$\angle DFE = 50^{\circ}$$.
99. $$\angle CFD$$ и $$\angle DFE$$ — смежные, если $$C, F, E$$ лежат на одной прямой.
100. $$ riangle CMF$$: $$\angle CMF$$. $$\angle CFM$$.
101. $$\angle CFD$$ и $$\angle DFM$$ — части $$\angle CFM$$? Нет.
102. $$\angle CFD + \angle DFM = \angle CFM$$.
103. $$\angle CFD + \angle DFE = \angle CFE$$.
104. $$\angle CFE$$ — угол $$ riangle AFE$$.
105. $$\angle CMF$$.
106. $$\angle AMC = 90^{\circ}$$.
107. $$\angle CFD + \angle DFM = \angle CFM$$?
108. $$\angle CFM$$ - угол треугольника $$ riangle CMF$$.
109. $$ riangle EMD = riangle FMD ightarrow riangle EDM = riangle FDM$$. $$\angle FDM = 40^{\circ}$$. $$\angle DFM = ext{неизвестно}$$.
110. $$ riangle FDE$$ — равнобедренный. $$\angle DFE = 50^{\circ}$$.
111. $$\angle CFD$$ и $$\angle DFE$$ — смежные, если C, F, E лежат на одной прямой.
112. $$\angle CFD + \angle DFE = 180^{\circ}$$. $$\angle CFD = 180^{\circ} - 50^{\circ} = 130^{\circ}$$.
113. Проверка:
114. Если $$\angle CFD = 130^{\circ}$$, $$\angle DFM = ?$$
115. $$\angle CFM = \angle CFD + \angle DFM$$? Нет.
116. $$ riangle CMF$$ — прямоугольный, $$\angle CMF = 90^{\circ}$$.
117. $$\angle CFD + \angle FCD = 140^{\circ}$$.
118. $$\angle CFD = 130^{\circ}$$ => $$\angle FCD = 10^{\circ}$$.
119. $$ riangle AMC$$ — прямоугольный. $$\angle MAC = \angle MCA$$. $$\angle MCA = \angle FCD$$.
120. $$\angle MCF = \angle FCD = 10^{\circ}$$.
121. В $$\triangle CMF$$: $$\angle CFM = 90^{\circ} - 10^{\circ} = 80^{\circ}$$.
122. $$\angle DFM = \angle CFM - \angle CFD = 80^{\circ} - 130^{\circ}$$ (неверно).
123. $$\angle CFM = \angle CFD + \angle DFM$$ (неверно).
124. $$\angle CFD$$ и $$\angle DFM$$ — части $$\angle CFM$$.
125. $$\angle CFD + \angle DFM = \angle CFM$$.
126. $$\angle CFM = 80^{\circ}$$. $$\angle CFD = 130^{\circ}$$. $$\angle DFM = 80 - 130$$ (неверно).
127. \angle CFD$$ и $$\angle DFM$$ - смежные? Нет.
128. $$\angle CFD$$ и $$\angle DFE$$ - смежные? Да, если C, F, E лежат на одной прямой.
129. $$\angle CFE$$ — развернутый угол.
130. $$\angle DFE = 50^{\circ}$$.
131. $$\angle CFD = 180^{\circ} - 50^{\circ} = 130^{\circ}$$.
132. $$ riangle EMD = riangle FMD ightarrow ext{ED=FD}$$. $$ riangle FDE$$ — равнобедренный. $$\angle FDE = 80^{\circ}$$. $$\angle DFE = ext{значение}$$.
133. $$\angle DFE = (180 - 80)/2 = 50^{\circ}$$.
134. $$\angle CFD$$ и $$\angle DFE$$ — смежные углы.
135. $$\angle CFD + \angle DFE = 180^{\circ}$$. $$\angle CFD = 180^{\circ} - 50^{\circ} = 130^{\circ}$$.

Ответ: 130°