6*. На биссектрисе ВК равнобедренного треугольника ABC с основанием АС отмечена точка F, на отрезке АК — точка D и на отрезке СК — точка Е, причем ЕК = ДК. Найдите ∠ADF, если ∠DFE = 100°.

Решение:

Треугольник \( ABC \) — равнобедренный с основанием \( AC \), \( BK \) — биссектриса. Следовательно, \( BK \) является также высотой и медианой. Это означает, что \( BK ⊥ AC \) и \( AK = KC \).

Нам дано, что \( EK = DK \). Это означает, что треугольник \( Д DEK \) — равнобедренный.

Угол \( ж DFE = 100^\circ \). Угол \( ж EKF \) и \( ж DFE \) — смежные углы, если \( F \) лежит на \( BK \), а \( D \) на \( AK \), \( E \) на \( CK \).

Угол \( ж EKF \) является внешним углом треугольника \( Д EK \).

Рассмотрим треугольник \( Д DEK \).

Угол \( ж EKF \) смежный с \( ж DKE \). \( ж DFE = 100^\circ \). Это значит, что \( ж EKF = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \) (если \( F \) находится на продолжении \( BK \)).

Так как \( Д DEK \) равнобедренный с \( EK = DK \), то \( ж KED = ж KDE \).

Сумма углов в \( Д DEK \) равна \( 180^\circ \).

\( ж KED + ж KDE + ж EKD = 180^\circ \).

\( 2 ж KDE + 80^\circ = 180^\circ \) (так как \( ж EKD \) и \( ж EKF \) — смежные, \( ж EKD = 80^\circ \)).

\( 2 ж KDE = 100^\circ \)

\( ж KDE = 50^\circ \).

Мы знаем, что \( AK = KC \). Точка \( D \) лежит на \( AK \), точка \( E \) лежит на \( CK \).

Так как \( ж KDE = 50^\circ \), то \( ж ADF \) и \( ж KDE \) — это один и тот же угол, поскольку \( D \) находится на \( AK \), а \( F \) на \( BK \) (которая является продолжением \( BK \), а \( BK \) пересекает \( AC \) в точке \( K \)).

Ответ: 50°.