6 ∠MAN - ?

Решение:

MA и AN — касательные к окружности, проведённые из точки A. Центр окружности — O. ∠MON = 115° (центральный угол).

Свойство касательных: отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны: MA = AN.

Также, центр окружности лежит на биссектрисе угла ∠MAN.

Рассмотрим четырёхугольник AMON. Сумма углов в четырёхугольнике равна 360°.

Углы ∠AMO и ∠ANO равны 90°, так как радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным.

\( ∠MAN + ∠AMO + ∠MON + ∠ANO = 360° \)

\( ∠MAN + 90° + 115° + 90° = 360° \)

\( ∠MAN + 295° = 360° \)

\( ∠MAN = 360° - 295° \)

\( ∠MAN = 65° \).

Ответ: ∠MAN = 65°.