6*. Из точки А к окружности с центром О проведена касательная AM и АК (М и К — точки касания). Найдите ∠MAK, если ∠OMK = 24°.

Решение:

По условию AM и AK — касательные к окружности с центром O, проведенные из точки A. M и K — точки касания.

Свойства касательных, проведенных из одной точки:

1. Касательные равны: \( AM = AK \).
2. Отрезок AO, соединяющий точку A с центром окружности, является биссектрисой угла между касательными (\( ∠ MAK \)) и угла между радиусами, проведенными в точки касания (\( ∠ MOK \)).

Рассмотрим треугольник ΔOMK. OM и OK — радиусы окружности, поэтому \( OM = OK \). Следовательно, ΔOMK — равнобедренный.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны: \( ∠ OMK = ∠ OKM = 24° \).

Сумма углов в ΔOMK равна 180°:

\[ ∠ MOK + ∠ OMK + ∠ OKM = 180° \]\[ ∠ MOK + 24° + 24° = 180° \]\[ ∠ MOK + 48° = 180° \]\[ ∠ MOK = 180° - 48° = 132° \]

Теперь рассмотрим четырехугольник AMOK. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°.

Радиусы, проведенные в точку касания, перпендикулярны касательной. Значит:

\( ∠ AMO = 90° \)

\( ∠ AKO = 90° \)

В четырехугольнике AMOK:

\[ ∠ MAK + ∠ AMO + ∠ MOK + ∠ AKO = 360° \]\[ ∠ MAK + 90° + 132° + 90° = 360° \]\[ ∠ MAK + 312° = 360° \]\[ ∠ MAK = 360° - 312° \]\[ ∠ MAK = 48° \]

Ответ: 48°