6. Из города А в город В, расстояние между которыми 120 км, вышли одновременно два автомобиля. Первый из них ехал всё время с постоянной скоростью. Второй автомобиль первые 3/4 ч ехал с той же скоростью, затем сделал остановку на 15 мин, после этого увеличил скорость на 5 км/ч и прибыл в город В вместе с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля.

Решение:

Пусть \( v_1 \) — скорость первого автомобиля (км/ч), а \( v_2 \) — скорость второго автомобиля в начале пути (км/ч). Расстояние между городами \( S = 120 \) км.

Время, за которое первый автомобиль преодолел расстояние \( S \): \( t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{120}{v_1} \) ч.

Второй автомобиль:

• Время движения с первой скоростью: \( t_{2,1} = \frac{3}{4} \) ч.
• Расстояние, пройденное со скоростью \( v_2 \): \( S_{2,1} = v_2 \cdot t_{2,1} = v_2 \cdot \frac{3}{4} \) км.
• Остановка: \( t_{stop} = 15 \) мин = \( \frac{15}{60} = \frac{1}{4} \) ч.
• Скорость после остановки: \( v_{2,2} = v_2 + 5 \) км/ч.
• Расстояние, пройденное со второй скоростью: \( S_{2,2} = (v_2 + 5) \cdot t_{2,2} \) км.
• Общее время в пути второго автомобиля: \( t_2 = t_{2,1} + t_{stop} + t_{2,2} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} + t_{2,2} = 1 + t_{2,2} \) ч.

По условию, \( v_2 = v_1 \). Следовательно:

• \( S_{2,1} = v_1 \cdot \frac{3}{4} \) км.
• \( S_{2,2} = (v_1 + 5) \cdot t_{2,2} \) км.
• Общее расстояние, пройденное вторым автомобилем: \( S_{2,1} + S_{2,2} = 120 \) км.
• \( \frac{3}{4}v_1 + (v_1 + 5)t_{2,2} = 120 \).

Так как оба автомобиля прибыли одновременно, \( t_1 = t_2 \).

\( \frac{120}{v_1} = 1 + t_{2,2} \) => \( t_{2,2} = \frac{120}{v_1} - 1 \).

Подставим \( t_{2,2} \) в уравнение для расстояния:

\( \frac{3}{4}v_1 + (v_1 + 5)(\frac{120}{v_1} - 1) = 120 \)

\( \frac{3}{4}v_1 + v_1(\frac{120}{v_1} - 1) + 5(\frac{120}{v_1} - 1) = 120 \)

\( \frac{3}{4}v_1 + 120 - v_1 + \frac{600}{v_1} - 5 = 120 \)

\( \frac{3}{4}v_1 - v_1 + \frac{600}{v_1} - 5 = 0 \)

\( -\frac{1}{4}v_1 + \frac{600}{v_1} - 5 = 0 \)

Умножим всё на \( 4v_1 \):

\( -v_1^2 + 2400 - 20v_1 = 0 \)

\( v_1^2 + 20v_1 - 2400 = 0 \)

Решим квадратное уравнение:

\( D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2400) = 400 + 9600 = 10000 \)

\( \sqrt{D} = 100 \)

\( v_1 = \frac{-20 \pm 100}{2} \)

\( v_1 = \frac{80}{2} = 40 \) или \( v_1 = \frac{-120}{2} = -60 \).

Так как скорость не может быть отрицательной, \( v_1 = 40 \) км/ч.

Проверим:

• \( v_1 = 40 \) км/ч. \( t_1 = \frac{120}{40} = 3 \) ч.
• \( v_2 = 40 \) км/ч. \( S_{2,1} = 40 \cdot \frac{3}{4} = 30 \) км.
• \( v_{2,2} = 40 + 5 = 45 \) км/ч. \( S_{2,2} = 120 - 30 = 90 \) км. \( t_{2,2} = \frac{90}{45} = 2 \) ч.
• \( t_2 = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} + 2 = 1 + 2 = 3 \) ч.

Время совпадает.

Ответ: 40 км/ч.