6. ГОЛОВОЛОМКА: AAAA + AAAB = CCCCC, A + B + C = ?

Решение:

Запишем сложение столбиком:

AAAA

+ AAAB

-------

CCCCC

Из последней цифры сложения (единицы): \( A + B \) должно оканчиваться на \( C \), и, возможно, быть с переносом в десятки. Если \( A=1 \), \( B=2 \), то \( C=3 \). Тогда \( 1111 + 1112 = 2223 \) - не подходит.

Если \( A=5 \), \( B=8 \), то \( C=3 \). Тогда \( 5555 + 5558 = 11113 \) - не подходит.

Давайте попробуем так:

A A A A

+ A A A B

---------

C C C C C

Из сложения единиц: \( A+B \) оканчивается на \( C \). Возможен перенос 1 в разряд десятков.

Из сложения десятков: \( A+A+1 \) (перенос) оканчивается на \( C \). Возможен перенос 1 или 2 в разряд сотен.

Из сложения сотен: \( A+A+ \text{перенос} \) оканчивается на \( C \). Возможен перенос.

Из сложения тысяч: \( A+A \) оканчивается на \( C \). Это значит, что \( C \) — это удвоенное \( A \) с возможным переносом из сотен.

Если \( A+A \) оканчивается на \( C \), и \( C \) — это \( A+A+ \text{перенос} \) (тоже оканчивается на \( C \)).

Рассмотрим самое простое: нет переносов.

\( A+B = C \)

\( A+A = C \)

Значит \( A+B = A+A \), откуда \( B = A \). Но в сложении \( AAAA + AAAB \), \( B \) отличается от \( A \), значит, есть перенос.

Если \( A+B = C \) и есть перенос 1.

\( A+A+1 = C \) и есть перенос 1 или 2.

\( A+A+\text{перенос} = C \) и есть перенос.

\( A+A = C \)

Из \( A+A=C \), \( A \) может быть максимум 4, так как \( C \) — одна цифра. Если \( A=4 \), \( C=8 \).

Проверим \( A=4 \), \( C=8 \):

4444

+ 444B

-------

88888

\( 4+B \) оканчивается на 8. Значит \( B=4 \). Но \( A \neq B \).

Значит, есть перенос.

Пусть \( C = 2A \) или \( C = 2A - 10 \).

Рассмотрим случай, когда \( C=1 \) (из-за переноса из последней цифры).

\( A+B = 10 \) (перенос 1)

\( A+A+1 = 10 \) (перенос 1)

\( 2A = 9 \) - не целое число, значит \( A \) не может быть 5.

Тогда \( C=1 \) невозможно.

Рассмотрим, что \( C \) - это число, которое получается из \( A+A \) с переносом.

Пусть \( A=9 \). Тогда \( A+A = 18 \). \( C=8 \) с переносом 1.

9999

+ 999B

-------

19998

\( 9+B \) оканчивается на 8. Значит \( B=9 \). Но \( A \neq B \).

Давайте предположим, что \( C \) - это число, которое получилось из \( A+A \) + перенос.

Посмотрим на последнее сложение \( A+B = C \) (или \( A+B=10+C \) с переносом 1).

А также \( A+A = C \) (или \( A+A=10+C \) с переносом 1).

Если \( A+A = C \), то \( A \) может быть 1, 2, 3, 4.

Если \( A=1 \), \( C=2 \).

1111

+ 111B

-------

22222

\( 1+B = 2 \) => \( B=1 \). Но \( A \neq B \).

Если \( A=2 \), \( C=4 \).

2222

+ 222B

-------

44444

\( 2+B = 4 \) => \( B=2 \). Но \( A \neq B \).

Если \( A=3 \), \( C=6 \).

3333

+ 333B

-------

66666

\( 3+B = 6 \) => \( B=3 \). Но \( A \neq B \).

Если \( A=4 \), \( C=8 \).

4444

+ 444B

-------

88888

\( 4+B = 8 \) => \( B=4 \). Но \( A \neq B \).

Теперь рассмотрим случай с переносом.

\( A+B = C \) или \( A+B = 10+C \) (перенос 1).

\( A+A+1 = C \) или \( A+A+1 = 10+C \) (перенос 1 или 2).

\( A+A+\text{перенос1} = C \) или \( A+A+\text{перенос1} = 10+C \) (перенос 1 или 2).

\( A+A+\text{перенос2} = C \) (если C - последняя цифра).

Попробуем \( A=1 \). \( A+B=C \). \( 1+B=C \).

\( A+A+1 = 1+1+1 = 3 \). \( C=3 \). Тогда \( 1+B=3 \) => \( B=2 \).

Проверим:

1111

+ 1112

-------

2223

Не подходит, \( C \) должно быть 2.

Попробуем \( A=2 \). \( A+B=C \). \( 2+B=C \).

\( A+A+1 = 2+2+1 = 5 \). \( C=5 \). Тогда \( 2+B=5 \) => \( B=3 \).

Проверим:

2222

+ 2223

-------

4445

Не подходит, \( C \) должно быть 4.

Попробуем \( A=3 \). \( A+B=C \). \( 3+B=C \).

\( A+A+1 = 3+3+1 = 7 \). \( C=7 \). Тогда \( 3+B=7 \) => \( B=4 \).

Проверим:

3333

+ 3334

-------

6667

Не подходит, \( C \) должно быть 6.

Попробуем \( A=4 \). \( A+B=C \). \( 4+B=C \).

\( A+A+1 = 4+4+1 = 9 \). \( C=9 \). Тогда \( 4+B=9 \) => \( B=5 \).

Проверим:

4444

+ 4445

-------

8889

Не подходит, \( C \) должно быть 8.

Рассмотрим случай, когда \( C \) - это перенос из \( A+A \).

Если \( A=5 \), \( A+A = 10 \). \( C=0 \), перенос 1.

\( A+B = C \) или \( A+B = 10+C \).

\( 5+B \) оканчивается на 0, значит \( B=5 \) (но \( A \neq B \)) или \( B=15 \) (не цифра).

Попробуем \( A+B = 10+C \).

\( 5+B=10+0 \) => \( B=5 \). Снова \( A=B \).

Рассмотрим \( A+A+1 = 10+C \).

\( 5+5+1 = 11 \). \( C=1 \), перенос 1.

5555

+ 555B

-------

11111

\( 5+B \) оканчивается на 1. Значит \( B=6 \).

Проверим:

5555

+ 5556

-------

11111

Здесь \( C=1 \).

\( A=5, B=6, C=1 \).

\( A+B+C = 5+6+1 = 12 \).

Ответ: 12.