6. Даны координаты трёх вершин прямоугольника ABCD: A (-1;-3), С (5; 1) и Д (5;-3).

Решение:

Даны координаты трех вершин прямоугольника: A(-1;-3), C(5; 1), D(5;-3).

1) Начертите этот прямоугольник.

• Отметьте точки A, C, D на координатной плоскости.
• A(-1;-3): x=-1, y=-3
• D(5;-3): x=5, y=-3
• C(5;1): x=5, y=1
• Заметьте, что у точек A и D одинаковая координата y (-3), значит, отрезок AD является горизонтальной стороной.
• У точек D и C одинаковая координата x (5), значит, отрезок DC является вертикальной стороной.
• Это подтверждает, что ABCD - прямоугольник.

2) Найдите координаты вершины В.

• В прямоугольнике противоположные стороны параллельны и равны.
• Вектор AD = (5 - (-1); -3 - (-3)) = (6; 0)
• Вектор DC = (5 - 5; 1 - (-3)) = (0; 4)
• Чтобы найти точку B, нужно от точки A отложить вектор DC, или от точки C отложить вектор AD (с противоположным направлением).
• Найдем B, отложив вектор DC от точки A:
• B = A + DC = (-1 + 0; -3 + 4) = (-1; 1)
• Проверим: Вектор CB = (-1 - 5; 1 - 1) = (-6; 0). Вектор AB = (-1 - (-1); 1 - (-3)) = (0; 4).
• Векторы AD и CB равны (6;0) и (-6;0) (противоположны по направлению, но равны по длине).
• Векторы DC и AB равны (0;4).
• Значит, координаты вершины B: (-1; 1).

3) Найдите координаты точки пересечения диагоналей прямоугольника.

• Диагонали прямоугольника пересекаются в точке, которая является серединой каждой диагонали.
• Найдем середину диагонали AC:
• Середина M = ( (x_A + x_C)/2 ; (y_A + y_C)/2 )
• M = ( (-1 + 5)/2 ; (-3 + 1)/2 ) = ( 4/2 ; -2/2 ) = (2; -1)
• Найдем середину диагонали BD (для проверки):
• M = ( (x_B + x_D)/2 ; (y_B + y_D)/2 )
• M = ( (-1 + 5)/2 ; (1 + (-3))/2 ) = ( 4/2 ; -2/2 ) = (2; -1)
• Координаты точки пересечения диагоналей: (2; -1).

4) Вычислите площадь и периметр прямоугольника, считая, что длина единичного отрезка координатных осей равна 1 см.

• Длина стороны AD:
• [ AD = √{(5 - (-1))^2 + (-3 - (-3))^2} = √{6^2 + 0^2} = √{36} = 6 ext{ см} ]
• Длина стороны DC:
• [ DC = √{(5 - 5)^2 + (1 - (-3))^2} = √{0^2 + 4^2} = √{16} = 4 ext{ см} ]
• Площадь прямоугольника (S):
• [ S = ext{длина} × ext{ширина} = AD × DC = 6 ext{ см} × 4 ext{ см} = 24 ext{ см}^2 ]
• Периметр прямоугольника (P):
• [ P = 2 × ( ext{длина} + ext{ширина}) = 2 × (AD + DC) = 2 × (6 ext{ см} + 4 ext{ см}) = 2 × 10 ext{ см} = 20 ext{ см} ]

Ответ:

• Координаты вершины B: (-1; 1).
• Координаты точки пересечения диагоналей: (2; -1).
• Площадь прямоугольника: 24 см².
• Периметр прямоугольника: 20 см.