6. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что \u2220DBC = 27°, \u2220ABD=61° и \u2220BDC=73°. Найдите углы четырёхугольника.

Решение:

Дано:

• Четырёхугольник ABCD вписан в окружность.
• \u2220DBC = 27°
• \u2220ABD = 61°
• \u2220BDC = 73°

Найти: Углы четырёхугольника (\u2220A, \u2220B, \u2220C, \u2220D).

Свойства углов, опирающихся на одну дугу:

• Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Свойства вписанного четырёхугольника:

• Сумма противоположных углов равна 180°.

Шаг 1: Найдем \u2220ABC.

\u2220ABC = \u2220ABD + \u2220DBC

\u2220ABC = 61° + 27° = 88°.

Шаг 2: Найдем \u2220ADC.

Углы \u2220ABC и \u2220ADC - противоположные углы вписанного четырёхугольника.

\u2220ADC = 180° - \u2220ABC

\u2220ADC = 180° - 88° = 92°.

Шаг 3: Найдем \u2220ADB.

Углы \u2220ADB и \u2220ACB опираются на одну дугу AB. Значит, \u2220ADB = \u2220ACB.

Углы \u2220DBC и \u2220DAC опираются на одну дугу DC. Значит, \u2220DAC = \u2220DBC = 27°.

В треугольнике BDC:

\u2220BCD = 180° - \u2220BDC - \u2220DBC

\u2220BCD = 180° - 73° - 27° = 180° - 100° = 80°.

Шаг 4: Найдем \u2220BAD.

Углы \u2220BCD и \u2220BAD - противоположные углы вписанного четырёхугольника.

\u2220BAD = 180° - \u2220BCD

\u2220BAD = 180° - 80° = 100°.

Шаг 5: Проверим все углы.

\u2220A = \u2220BAD = 100°.

\u2220B = \u2220ABC = 88°.

\u2220C = \u2220BCD = 80°.

\u2220D = \u2220ADC = 92°.

Сумма углов четырёхугольника = 100° + 88° + 80° + 92° = 360°.

Проверка противоположных углов:

\u2220A + \u2220C = 100° + 80° = 180° (Верно)

\u2220B + \u2220D = 88° + 92° = 180° (Верно)

Дополнительно:

\u2220CAD = 27° (опирается на дугу CD).

\u2220BAC = \u2220BAD - \u2220DAC = 100° - 27° = 73°.

\u2220BCA = \u2220BCD - \u2220DCA = 80° - ?

Угол \u2220BCA опирается на дугу AB. Угол \u2220BDA опирается на дугу BA. Значит \u2220BCA = \u2220BDA.

В треугольнике BDC: \u2220DBC = 27°, \u2220BDC = 73°, \u2220BCD = 80°.

В треугольнике ABD: \u2220ABD = 61°. Нам нужно найти \u2220ADB.

\u2220ADB = \u2220ADC - \u2220BDC = 92° - 73° = 19°.

\u2220BCA = \u2220ADB = 19°.

\u2220ACD опирается на дугу AD. \u2220ABD = 61° опирается на дугу AD. Значит \u2220ACD = 61°.

\u2220C = \u2220BCA + \u2220ACD = 19° + 61° = 80° (Сошлось)

\u2220A = \u2220BAC + \u2220CAD = 73° + 27° = 100° (Сошлось)

\u2220B = \u2220ABC = 88° (Сошлось)

\u2220D = \u2220ADB + \u2220BDC = 19° + 73° = 92° (Сошлось)

Ответ: Углы четырёхугольника: \u2220A = 100°, \u2220B = 88°, \u2220C = 80°, \u2220D = 92°.