6. Четырехугольник ABCD вписан в окружность с диаметром AC. Найдите углы четырехугольника, если \( ∫ BC = 100^\circ \), \( ∫ CD = 60^\circ \).

Решение:

Четырехугольник \( ABCD \) вписан в окружность, и \( AC \) является диаметром. Это означает, что углы, опирающиеся на диаметр, являются прямыми.

• Угол \( ∫ ABC \) опирается на диаметр \( AC \), значит, \( ∫ ABC = 90^\circ \).
• Угол \( ∫ ADC \) опирается на диаметр \( AC \), значит, \( ∫ ADC = 90^\circ \).

Центральный угол, опирающийся на дугу \( BC \), равен 100°. Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, равен половине центрального угла. Но нам даны дуги.

Дуга \( BC = 100^\circ \).

Дуга \( CD = 60^\circ \).

Дуга \( BC + CD = 100^\circ + 60^\circ = 160^\circ \).

Полная окружность равна \( 360^\circ \). Следовательно, дуга \( BAD \) (или \( AB + AD \)) равна \( 360^\circ - 160^\circ = 200^\circ \).

Найдем вписанные углы:

\( ∫ BAC \) опирается на дугу \( BC \), значит \( ∫ BAC = \frac{1}{2} · ∫ BC = \frac{1}{2} · 100^\circ = 50^\circ \).

\( ∫ CAD \) опирается на дугу \( CD \), значит \( ∫ CAD = \frac{1}{2} · ∫ CD = \frac{1}{2} · 60^\circ = 30^\circ \).

\( ∫ BCA \) опирается на дугу \( AB \).

\( ∫ ACD \) опирается на дугу \( AD \).

Найдем дугу \( AD \):

\( ∫ ADC = 90^\circ \). Дуга \( ABC = 360^\circ - ∫ ADC = 360^\circ - 90^\circ \times 2 = 180^\circ \) - это неверно. Дуга \( ABC = ∫ BC + ∫ AB = 180^\circ \) (т.к. опирается на диаметр \( AC \)).

\( ∫ AB = 180^\circ - ∫ BC = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \).

\( ∫ ADC = 90^\circ \). Дуга \( ADC = ∫ AD + ∫ CD = 180^\circ \) (т.к. опирается на диаметр \( AC \)).

\( ∫ AD = 180^\circ - ∫ CD = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).

Теперь можем найти углы четырехугольника:

\( ∫ A = ∫ BAC + ∫ CAD = 50^\circ + 30^\circ = 80^\circ \).

\( ∫ B = ∫ ABC = 90^\circ \).

\( ∫ C = ∫ BCA + ∫ ACD \).

\( ∫ BCA \) опирается на дугу \( AB \), значит \( ∫ BCA = \frac{1}{2} · ∫ AB = \frac{1}{2} · 80^\circ = 40^\circ \).

\( ∫ ACD \) опирается на дугу \( AD \), значит \( ∫ ACD = \frac{1}{2} · ∫ AD = \frac{1}{2} · 120^\circ = 60^\circ \).

\( ∫ C = 40^\circ + 60^\circ = 100^\circ \).

\( ∫ D = ∫ ADC = 90^\circ \).

Проверка: Сумма углов четырехугольника \( 80^\circ + 90^\circ + 100^\circ + 90^\circ = 360^\circ \). Верно.

Ответ: \( ∫ A = 80^\circ, ∫ B = 90^\circ, ∫ C = 100^\circ, ∫ D = 90^\circ \).